音楽室と化学室と美術室とPC室の融合部屋　所謂自由室

趣味と気分で適当に色々やります．なんかあるとたまに更新します．

Twitterで見た積分について(2)

数学勉強

なんとなくTwitterで見かけた

この式を計算してみようと思った．


前回

aryuaryuaryuryu.hatenablog.com



ご丁寧に
\int_{0}^{\infty}x^{s-1}\cos{x}dx
\int_{0}^{\infty}x^{s-1}\sin{x}dx
と分けてあるけど
\int_{0}^{\infty}t^{s-1}\cos{t}dt + i\int_{0}^{\infty}t^{s-1}\sin{t}dt
としてやる．

すると
\int_{0}^{\infty}t^{s-1}(\cos{t} + i\sin{t})dt = \int_{0}^{\infty}t^{s-1}e^{it}dt
次に
it = -u,\ \ dt = idu
と置換すると
\int_{0}^{\infty}t^{s-1}e^{it}dt = \int_{0}^{i\infty}(iu)^{s-1}e^{-u}idu
これを整理して
i^s\int_{0}^{i\infty}u^{s-1}e^{-u}du

次に積分の部分のみを考えたいが，e^{i\theta}は周期関数なので定義域を\theta = 0\sim 2\piと決めておく．
\int_{0}^{i\infty}u^{s-1}e^{-u}duについて，0\to R，R\to iR，iR\to 0という積分経路を取る周回積分を計算する．

この積分内部に極はないため
\oint u^{s-1}e^{-u}du = 0
であり，R\to \inftyの際の孤の部分が0であれば
\int_{0}^{\infty} u^{s-1}e^{-u}du - \int_0^{i\infty} u^{s-1}e^{-u}du = 0
なので
i^s\int_0^{i\infty} u^{s-1}e^{-u}du = i^s\int_{0}^{\infty} u^{s-1}e^{-u}du
が示せる．

孤についてはu = Re^{i\theta},\ du = iRe^{i\theta}d\thetaと置くことで
\int_C u^{s-1}e^{-u}du =\int_0^{\frac{\pi}{2}} R^se^{(s-1)i\theta}e^{-Re^{i\theta}} ie^{i\theta}d\theta
とできるので，\Re(s) = aとすると
\left|\int_C u^{s-1}e^{-u}du\right| \leq \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left| R^s\right|\left|e^{-Re^{i\theta}}\right|d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}}R^ae^{-R\cos\theta}d\theta
また積分区間内では1-\frac{2}{\pi}\theta \leq \cos{\theta}なので

R^a\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{-R\cos\theta}d\theta \leq R^a\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{-R\left(1-\frac{2}{\pi}\theta\right)}d\theta
あとは普通に計算を行い
R^ae^{-R}\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{\frac{2R}{\pi}\theta}d\theta = \frac{\pi}{2R}R^ae^{-R}\left[e^{\frac{2R}{\pi}\theta}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}
= \frac{\pi}{2}R^{a-1}e^{-R}\left(e^{R} - 1\right)
= \frac{\pi}{2}R^{a-1}\left(1 - e^{-R}\right)

こうしてa = \Re(s) <1のとき
\int_C u^{s-1}e^{-u}du =0
が示せたので
i^s\int_0^{i\infty} u^{s-1}e^{-u}du = i^s\int_{0}^{\infty} u^{s-1}e^{-u}du
が示せた．

更に\Re(s) > 0の時は
\int_{0}^{\infty} u^{s-1}e^{-u}du = \Gamma(s)
であることと，i^s = e^{\frac{\pi}{2}is}なので
\int_{0}^{\infty}t^{s-1}e^{it}dt = \Gamma(s)e^{\frac{\pi}{2}is}
が得られ，それぞれの実部と虚部との比較から，定義域は0<\Re(s)<1で
\int_{0}^{\infty}x^{s-1}\cos{x}dx = \Gamma(s)\cos{\frac{\pi s}{2}}
\int_{0}^{\infty}x^{s-1}\sin{x}dx = \Gamma(s)\sin{\frac{\pi s}{2}}
が得られる