五角数と三角数 - 音楽室と化学室と美術室とPC室の融合部屋　所謂自由室

オイラーの五角数定理
$\prod_{n=1}^{\infty}(1-x^n) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^nx^{\frac{n(3n-1)}{2}}$
に対し
$\left(\prod_{n=1}^{\infty}(1-x^n)\right)^3 = \left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^nx^{\frac{n(3n-1)}{2}}\right)^3 = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(2n+1)x^{\frac{n(n+1)}{2}}$
が成立する．
右辺の指数 $\frac{n(n+1)}{2}$ は毎度おなじみの三角数．
これもヤコビの三重積から導出ができる．

導出
参考文献

導出

ヤコビの三重積
$\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{n^2}z^n = \prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})(1+q^{2n-1}z)(1+q^{2n-1}z^{-1})$
に $z:=q^{\frac{1}{2}}z$ ， $q:=q^{\frac{1}{2}}$ を代入する
$\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{\frac{n^2+n}{2}}z^n = \prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{n})(1+q^{n}z)(1+q^{n-1}z^{-1})$
ここで $(1+q^{n-1}z^{-1})$ について， $n-1 = 0$ の箇所を相乗の外に出し $n$ をずらす
$\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{\frac{n^2+n}{2}}z^n = (1+z^{-1})\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{n})(1+q^{n}z)(1+q^{n}z^{-1})$

左辺の指数部の三角数 $\frac{n(n+1)}{2}$ に関し， $n$ と $-n-1$ はどちらも $\frac{n(n+1)}{2}$ となり， $n=0\sim\infty$ に対しそれぞれ $0\sim\infty$ と $-1\sim-\infty$ にわたるため
$\begin{align*} \sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{\frac{n^2+n}{2}}z^n =& \sum_{n=0}^{\infty}q^{\frac{n^2+n}{2}}z^n + \sum_{n=-1}^{-\infty}q^{\frac{n^2+n}{2}}z^n\\ =& \sum_{n=0}^{\infty}q^{\frac{n(n+1)}{2}}z^n + \sum_{n=0}^{\infty}q^{\frac{n(n+1)}{2}}z^{-n-1}\\ =& \sum_{n=0}^{\infty}q^{\frac{n(n+1)}{2}}\left(z^n+z^{-n-1}\right)\\ \end{align*}$
であり
$\sum_{n=0}^{\infty}q^{\frac{n(n+1)}{2}}\left(z^n+z^{-n-1}\right) = (1+z^{-1})\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{n})(1+q^{n}z)(1+q^{n}z^{-1})$
を得る．

両辺を $1+z^{-1}$ で割り
$\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{n})(1+q^{n}z)(1+q^{n}z^{-1}) = \sum_{n=0}^{\infty}q^{\frac{n(n+1)}{2}}\frac{z^n+z^{-n-1}}{1+z^{-1}}$
とし，因数分解の式
$1+x^{2n+1} = (1+x)(1 - x + x^2 - x^3 + \cdots + x^{2n})$
を使うと
$\begin{align*} \prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{n})(1+q^{n}z)(1+q^{n}z^{-1}) =& \sum_{n=0}^{\infty}q^{\frac{n(n+1)}{2}}\frac{z^n+z^{-n-1}}{1+z^{-1}}\\ =& \sum_{n=0}^{\infty}q^{\frac{n(n+1)}{2}}\frac{z^{n+1}+z^{-n}}{z+1}\\ =& \sum_{n=0}^{\infty}q^{\frac{n(n+1)}{2}}z^{-n}\frac{z^{2n+1}+1}{z+1}\\ =& \sum_{n=0}^{\infty}q^{\frac{n(n+1)}{2}}z^{-n}\left(1-z+z^2-z^3+\cdots + z^{2n}\right)\\ \end{align*}$
最後に $z\to -1$ の極限を取ると
$\begin{align*} \prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{n})^3 =& \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(2n+1)q^{\frac{n(n+1)}{2}}\\ \end{align*}$
また $n=-n-1$ とすると $2n+1 \to -2n - 1$ なので
$\begin{align*} \prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{n})^3 =& \frac{1}{2}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{n}(2n+1)q^{\frac{n(n+1)}{2}}\\ \end{align*}$
も得られる．

参考文献

Introduction to the Theory of Numbers