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デデキントイータ関数についてのメモ(1)

デデキントイータ関数
\eta(z) = e^{\frac{\pi iz}{12}}\prod_{n=1}^{\infty}(1-e^{2\pi inz})
についてのメモ


概要

デデキントイータ関数
\eta(z) = e^{\frac{\pi iz}{12}}\prod_{n=1}^{\infty}(1-e^{2\pi inz})
は上半平面で収束する関数になる.
実際z = a+biとすると
|e^z| = |e^{2\pi ina}e^{-2\pi nb}| = e^{-2\pi nb}
なので\Im(z)>0の時に\sum_{n=1}^{\infty} e^{-2\pi nb}が収束することから確認できる.

これの24乗は重さ12の保型形式になる.この記事はそれを示す.
示し方はジーゲルの方法を用いる.

η(z+1)の場合

明らかに
\eta(z+1) = e^{\frac{\pi i}{12}}\eta(z)
になる.

η(-1/z)の場合

問題はこっち.
結論から言うと\eta\left(-\frac{1}{z}\right) = \sqrt{\frac{z}{i}}\eta(z)になる.
これを示していきたい.

対数による式変形

最初はηの対数を考える.
\log{\eta(z)} = \frac{\pi iz}{12} + \sum_{n=1}^{\infty}\log{(1-e^{2\pi inz})}
これで-\log{(1-x)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}x^nを用いて

\log{\eta(z)} = \frac{\pi iz}{12} - \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}e^{2\pi inmz}

が示せる.

つまり\eta\left(-\frac{1}{z}\right) = \sqrt{\frac{z}{i}}\eta(z)の両辺の対数をとると
-\frac{\pi i}{12z} - \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}e^{-2\pi inm\frac{1}{z}} = \frac{1}{2}\log{\frac{z}{i}} + \frac{\pi iz}{12} - \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}e^{2\pi inmz}

式を整理
-\frac{\pi iz}{12}-\frac{\pi i}{12z} + \sum_{n = 1}^{\infty}\sum_{m = 1}^{\infty}\frac{1}{m}\left(e^{2\pi inmz} - e^{-2\pi inm\frac{1}{z}}\right) = \frac{1}{2}\log{\frac{z}{i}}

\Im(z) > 0の範疇で収束するため総和の入れ替えを行い
-\frac{\pi iz}{12}-\frac{\pi i}{12z} + \sum_{m = 1}^{\infty}\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{m}\left(e^{2\pi inmz} - e^{-2\pi inm\frac{1}{z}}\right) = \frac{1}{2}\log{\frac{z}{i}}
等比級数になるため総和をへらすことができる
-\frac{\pi iz}{12}-\frac{\pi i}{12z} + \sum_{m = 1}^{\infty}\frac{1}{m}\left(\frac{e^{2\pi imz}}{1-e^{2\pi imz}} - \frac{e^{-2\pi im\frac{1}{z}}}{1-e^{-2\pi im\frac{1}{z}}}\right) = \frac{1}{2}\log{\frac{z}{i}}

ここで\cot(z) = \frac{\cos(z)}{\sin(z)} = i\frac{e^{iz} + e^{-iz}}{e^{iz} - e^{-iz}} = i\frac{e^{2iz} + 1}{e^{2iz} - 1}の式に変形するため
-\frac{\pi iz}{12}-\frac{\pi i}{12z} + \sum_{m = 1}^{\infty}\frac{1}{2m}\left(\frac{2e^{2\pi imz}}{1-e^{2\pi imz}} - \frac{2e^{-2\pi im\frac{1}{z}}}{1-e^{-2\pi im\frac{1}{z}}}\right) = \frac{1}{2}\log{\frac{z}{i}}
1を足し1を引く
-\frac{\pi iz}{12}-\frac{\pi i}{12z} + \sum_{m = 1}^{\infty}\frac{1}{2m}\left(\frac{2e^{2\pi imz}}{1-e^{2\pi imz}} + 1 - \frac{2e^{-2\pi im\frac{1}{z}}}{1-e^{-2\pi im\frac{1}{z}}} - 1\right) = \frac{1}{2}\log{\frac{z}{i}}
整理
-\frac{\pi iz}{12}-\frac{\pi i}{12z} + \sum_{m = 1}^{\infty}\frac{1}{2m}\left(\frac{1 + e^{2\pi imz}}{1-e^{2\pi imz}}- \frac{1+e^{-2\pi im\frac{1}{z}}}{1-e^{-2\pi im\frac{1}{z}}}\right) = \frac{1}{2}\log{\frac{z}{i}}

i(-i) = 1を利用する
-\frac{\pi iz}{12}-\frac{\pi i}{12z} + \sum_{m = 1}^{\infty}\frac{i}{2m}\left(-i\frac{1 + e^{2\pi imz}}{1-e^{2\pi imz}}+i \frac{1+e^{-2\pi im\frac{1}{z}}}{1-e^{-2\pi im\frac{1}{z}}}\right) = \frac{1}{2}\log{\frac{z}{i}}

\cot(-z) = -\cot(z)なので
-\frac{\pi iz}{12}-\frac{\pi i}{12z} + \sum_{m = 1}^{\infty}\frac{i}{2m}\left(\cot{(\pi mz)}+\cot{\left(\frac{\pi m}{z}\right)}\right) = \frac{1}{2}\log{\frac{z}{i}}

対称にしたほうが今後計算しやすいので
-\frac{\pi iz}{12}-\frac{\pi i}{12z} + \frac{1}{2}\sum_{m \neq 0}\frac{i}{2m}\left(\cot{(\pi mz)}+\cot{\left(\frac{\pi m}{z}\right)}\right) = \frac{1}{2}\log{\frac{z}{i}}


こうして
-\frac{\pi iz}{12}-\frac{\pi i}{12z} + \sum_{m \neq 0}\frac{i}{4m}\left(\cot{(\pi mz)}+\cot{\left(\frac{\pi m}{z}\right)}\right) = \frac{1}{2}\log{\frac{z}{i}}
を示せば良いことがわかった.

ジーゲルの方法

ジーゲルはsの関数\frac{\left(\cot{s}\right)\left(\cot{\frac{s}{z}}\right)}{8s}を用いて示した.

テイラー展開で式変形を行い
\cot{s} = \frac{\cos{s}}{\sin{s}} = \frac{1}{s}\left(1-\frac{s^2}{2} + \cdots\right)\frac{1}{1 - \frac{s^2}{6} + \cdots}

等比級数の式で式変形を行い
\cot{s} = \frac{\cos{s}}{\sin{s}} = \frac{1}{s}\left(1-\frac{s^2}{2} + \cdots\right)\left(1+\left(\frac{s^2}{6} - \cdots\right) + \left(\frac{s^2}{6} - \cdots\right)^2 + \cdots\right)
展開を行う.今回は留数が確認できればいいので簡単にしか考えない.

\cot{s} = \frac{1}{s} - \frac{s}{3} + \cdots

\frac{\left(\cot{s}\right)\left(\cot{\frac{s}{z}}\right)}{8s}についてはs=0の時は極が3つあるのでそれ以外を考える.
\cot(s)の周期は2\piに注意すると,\pi kの時は\cot{s}に対応する一位の極になる.
更に\pi kzの時は\cot{\frac{s}{z}}に対応する一位の極になる.
よって
\textrm{Res}_{s=\pi k} \frac{\left(\cot{s}\right)\left(\cot{\frac{s}{z}}\right)}{8s} = \frac{1}{8k\pi}\cot{\frac{k\pi}{z}}
\textrm{Res}_{s=\pi kz} \frac{\left(\cot{s}\right)\left(\cot{\frac{s}{z}}\right)}{8s} = \frac{1}{8k\pi}\cot{(k\pi z)}

最後にs=0の極について計算をし
\textrm{Res}_{s=0} \frac{\left(\cot{s}\right)\left(\cot{\frac{s}{z}}\right)}{8s} = \textrm{Res}_{s=0}\frac{1}{8s}\left(\frac{1}{s} - \frac{s}{3} + \cdots\right)\left(\frac{z}{s} - \frac{s}{3z} + \cdots\right) = -\frac{z}{24}-\frac{1}{24z}
を得る.


\pi \left(N + \frac{1}{2}\right)z\pi \left(N + \frac{1}{2}\right)-\pi \left(N + \frac{1}{2}\right)-z\pi \left(N + \frac{1}{2}\right)の4点を結ぶ閉路を\gammaとする.

すると\frac{\left(\cot{s}\right)\left(\cot{\frac{s}{z}}\right)}{8s}積分について,N\to \inftyと極限をとると留数定理から
\int_\gamma \frac{\left(\cot{s}\right)\left(\cot{\frac{s}{z}}\right)}{8s} ds = -\frac{\pi iz}{12}-\frac{\pi i}{12z} + \sum_{m \neq 0}\frac{i}{4m}\left(\cot{(\pi mz)}+\cot{\left(\frac{\pi m}{z}\right)}\right)
が得られる.


次にこの積分を直接計算する.
s = t\pi\left(N + \frac{1}{2}\right)
と置換すると積分経路は1,\ z,\ -1,\ -zの4点を結ぶ閉路になる.

あとはN\to\inftyの極限を取りたい.

\cot(s)の極限は
\cot(s) = i\frac{e^{2is} + 1}{e^{2is} - 1} = i\frac{\exp{(2i\Re(s))}\exp{(-2\Im(s))} + 1}{\exp{(2i\Re(s))}\exp{(-2\Im(s))} - 1}
から
\lim_{\Im(s)\to\infty}\cot(s) = -i
\lim_{\Im(s)\to -\infty}\cot(s) = i
になることが確認できる.

\frac{s}{z} = \frac{(\Re(z)\Im(s) - \Re(s)\Im(z))}{|z|^2}
より
\Re(z)\Im(s) - \Re(s)\Im(z)\lesseqgtr 0
\Im(s) \lesseqgtr \Re(s)\frac{\Im(z)}{\Re(z)}
であることに注意をすると,複素平面上の原点とzを結ぶ直線より
左側は\lim_{\Im(s)\to\infty}\cot(s) = -i
右側は\lim_{\Im(s)\to -\infty}\cot(s) = i
であることがわかる.

つまり極限を取り
\int_\gamma \frac{\left(\cot{s}\right)\left(\cot{\frac{s}{z}}\right)}{8s} ds = \int_{1}^z \frac{-i\cdot i}{8t}dt + \int_{z}^{-1} \frac{-i\cdot (-i)}{8t}dt + \int_{-1}^{-z} \frac{i\cdot (-i)}{8t}dt + \int_{-z}^1 \frac{i\cdot i}{8t}dt
に変形ができ,式を整理し
\int_\gamma \frac{\left(\cot{s}\right)\left(\cot{\frac{s}{z}}\right)}{8s} ds = \int_{1}^z \frac{1}{4t}dt + \int_{-1}^z \frac{1}{4t}dt
積分を計算する.

2つの積分の経路は-1からz1からz

のようになっているが,置換し極限を取った後の被積分関数は原点以外正則なので-1からz積分経路を原点中心の上半面上の半円H-1から1へ通り1からzに移動する経路に変更する.

すると
\int_\gamma \frac{\left(\cot{s}\right)\left(\cot{\frac{s}{z}}\right)}{8s} ds = 2\int_{1}^z \frac{1}{4t}dt + \int_H \frac{1}{4t}dt
になり,
2\int_{1}^z \frac{1}{4t}dt = \frac{1}{2}\log{z}
\int_H \frac{1}{4t}dt = \frac{\pi i}{4}\int_1^{0} d\theta = -\frac{1}{2}\frac{\pi i}{2} = -\frac{1}{2}\log{i}
が得られる.
後者の積分t = e^{\pi i\theta}の置換を使った.

こうして
\int_\gamma \frac{\left(\cot{s}\right)\left(\cot{\frac{s}{z}}\right)}{8s} ds = \frac{1}{2}\log{z}-\frac{1}{2}\log{i} = -\frac{1}{2}\log{\frac{z}{i}}
が得られたため
-\frac{\pi iz}{12}-\frac{\pi i}{12z} + \sum_{m \neq 0}\frac{i}{4m}\left(\cot{(\pi mz)}+\cot{\left(\frac{\pi m}{z}\right)}\right) = \frac{1}{2}\log{\frac{z}{i}}
を示すことができた.

よって\eta\left(-\frac{1}{z}\right) = \sqrt{\frac{z}{i}}\eta(z)を示すことができた.


ηの関数等式

これまでの議論で
\eta(\tau+1) = e^{\frac{\pi i}{12}}\eta(\tau)
\eta\left(-\frac{1}{\tau}\right) = \sqrt{\frac{z}{i}}\eta(\tau)
の2つを示すことができた.
2つの両辺を24乗すると
\eta^{24}(\tau+1) = \eta^{24}(\tau)
\eta^{24}\left(-\frac{1}{\tau}\right) = \tau^{12}\eta^{24}(\tau)
になるため,η関数は重さ12のモジュラ形式になり
\eta^{24}\left(\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\right) = (c\tau + d)^{12}\eta^{24}(\tau)
になることがわかる.

この24乗根を取ると,適切な1の24乗根\varepsilon(a,b,c,d)を用いて
\eta\left(\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\right) = \varepsilon(a,b,c,d) (c\tau + d)^{\frac{1}{2}}\eta(\tau)
が得られる.

より詳細な式については,
\eta\left(\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\right) = e^{\pi i\left(\frac{a+d}{12c} - s(-d,c)-\frac{1}{4}\right)} (c\tau + d)^{\frac{1}{2}}\eta(\tau)
であり,指数部の関数s
s(h,k) = \sum_{r=1}^{k-1}\frac{r}{k}\left(\frac{hr}{k} - \lfloor\frac{hr}{k}\rfloor - \frac{1}{2}\right)
になる.


参考文献

解析的整数論Ⅱ