テータ関数 - 音楽室と化学室と美術室とPC室の融合部屋　所謂自由室

擬二重周期を持つ関数であるテータ関数について調べました．

この記事は
$\Theta (z|\tau) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{n^2}e^{2\pi inz}$
$\Pi (z|\tau) = \prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})(1+q^{2n-1}e^{2\pi iz})(1+q^{2n-1}e^{-2\pi iz})$
の2つの関数の性質について少し調べて
$\Theta (z|\tau) = \Pi (z|\tau)$
を示すところまでを目標とします

ちなみに $q$ について， $q = e^{\pi i \tau}$ と表記している文献結構あるみたいなので中途半端にちょくちょく $q$ にしてます．

テータ関数について
三重積
三重積公式
参考文献

テータ関数について

定義

テータ関数を
$\Theta (z|\tau) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi in^2\tau}e^{2\pi inz}$
と定義する．
これは $z\in\mathbb{C}$ に関して整関数であり， $\tau$ は上半平面 $\mathbb{H}$ に対して正則な関数になる．
上半平面は複素数 $z=x+iy$ に対して $y> 0$ となる範囲のことを示す．

この関数は $\Theta(0|i\tau)$ と置くと $\vartheta(\tau) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\pi n^2 \tau}$ となり，下記の記事のテータ関数 $\vartheta(z)$ と一致する．
aryuaryuaryuryu.hatenablog.com

この $\vartheta(z)$ 関数はポアソン和公式を用いて函数等式を導くことができ，そこからゼータ関数の函数等式を得ることができる．
aryuaryuaryuryu.hatenablog.com

擬二重周期

この関数は
$\Theta(z+1|\tau) = \Theta(z|\tau)$
$\Theta(z+\tau|\tau) = e^{-\pi i\tau}e^{-2\pi iz}\Theta(z|\tau)$
を満たし，擬二重周期関数と言われるらしい．

実際に計算をしてみると
$\Theta(z+1|\tau) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi in^2\tau}e^{2\pi in(z+1)} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi in^2\tau}e^{2\pi inz} = \Theta(z|\tau)$
及び
$\Theta(z+\tau|\tau) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi in^2\tau}e^{2\pi in(z+\tau)}\\ = \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi i\tau(n^2+2n)}e^{2\pi in z}\\ = \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi i\tau(n^2+2n + 1)}e^{2\pi i(n+1) z}e^{-\pi i\tau}e^{-2\pi iz}\\ = \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi i\tau(n+1)^2}e^{2\pi i(n+1) z}e^{-\pi i\tau}e^{-2\pi iz}\\ = e^{-\pi i\tau}e^{-2\pi iz}\Theta(z|\tau)\\$
という感じに確認ができる．

零点

零点の位置

テータ関数 $\Theta(z|\tau)$ の零点は
$\frac{1}{2} + \frac{\tau}{2}$
にあり，擬二重周期関数であるため $n,m\in \mathbb{Z}$ を用いて
$\frac{1}{2} + \frac{\tau}{2} + n + m\tau$
が零点になる．

$\Theta\left(\frac{1}{2} + \frac{\tau}{2}\right) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi in^2\tau}e^{2\pi in(\frac{1}{2} + \frac{\tau}{2})}\\ = \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi in^2\tau}e^{\pi in(1+\tau)}\\ = \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi i(n^2 + n)\tau}e^{\pi in}\\ = \sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^n e^{\pi i(n^2 + n)\tau}$

ここで $(n^2+n)$ について， $0\leftrightarrow -1$ の組み合わせで対応し， $1\leftrightarrow -2$ の組み合わせで対応し・・・
というように
$n$ に対し $-n-1$ が対応することが $(-n-1)^2 + (-n-1) = n^2+2n+1 - n - 1 = n^2+n$
で確認ができ，お互いが打ち消し合うので
$\Theta\left(\frac{1}{2} + \frac{\tau}{2}\right) = 0$
が示せた．

零点の位数

テータ関数に対数を取り基本周期平行四辺形を一周するように積分を行う．
$\frac{\Theta'(z|\tau)}{\Theta(z|\tau)}$
に関し，ある点 $a\in\mathbb{C}$ から $a+1$ ， $a+1+\tau$ ， $a+\tau$ と通り $a$ に戻るように積分を行う．
今回は楕円関数と違い， $z$ に関して $\mathbb{C}$ 上で整関数なので極は存在せず，偏角の原理から零点の個数に $2\pi i$ をかけた結果になる．

$\Theta(z+1|\tau) = \Theta(z|\tau)$
$\Theta(z+\tau|\tau) = e^{-\pi i\tau}e^{-2\pi iz}\Theta(z|\tau)$
を使って積分を行うと
$\int_C \frac{\Theta'(z|\tau)}{\Theta(z|\tau)}dz = \int_C \frac{d}{dz}\log{\Theta(z|\tau)}dz\\ = \int_{a}^{a+1} \frac{d}{dz}\log{\Theta(z|\tau)}dz + \int_{a+1}^{a+1+\tau} \frac{d}{dz}\log{\Theta(z|\tau)}dz + \int_{a+1+\tau}^{a+\tau} \frac{d}{dz}\log{\Theta(z|\tau)}dz + \int_{a+\tau}^{a} \frac{d}{dz}\log{\Theta(z|\tau)}dz\\ = \int_{a}^{a+1} \frac{d}{dz}\left(\log{\Theta(z|\tau)} - \log{\Theta(z+\tau|\tau)}\right)dz + \int_{a}^{a+\tau} \frac{d}{dz}\left(\log{\Theta(z+1|\tau)} - \log{\Theta(z|\tau)}\right)dz\\ = \int_{a}^{a+1} \frac{d}{dz}\left(\log{\Theta(z|\tau)} + \pi i \tau + 2\pi i z - \log{\Theta(z|\tau)}\right)dz\\ = \int_{a}^{a+1} 2\pi idz\\ = 2\pi i$
となり，結局基本周期平行四辺形には零点は1つだけしか存在せず，
$\Theta\left(\frac{1}{2} + \frac{\tau}{2}\right) = 0$
のみとなることがわかった．

三重積

定義

無限積
$\Pi (z|\tau) = \prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})(1+q^{2n-1}e^{2\pi iz})(1+q^{2n-1}e^{-2\pi iz})$
を三重積という．

$q$ について， $q = e^{\pi i \tau}$ と表記しているので
$\Pi (z|\tau) = \prod_{n=1}^{\infty}(1-e^{2n\pi i \tau})(1+e^{(2n-1)\pi i \tau}e^{2\pi iz})(1+e^{(2n-1)\pi i \tau}e^{-2\pi iz})$
になる．

$\tau = x+iy$ としたとき $y>0$ の場合は積について絶対収束する．
すなわち $z\in\mathbb{C}$ に関して整関数であり， $\tau$ は上半平面 $\mathbb{H}$ に対して正則な関数になる．

擬二重周期

この関数も
$\Pi(z+1|\tau) = \Pi(z|\tau)$
$\Pi(z+\tau|\tau) = e^{-\pi i\tau}e^{-2\pi iz}\Pi(z|\tau)$
を満たす．

$\Pi(z+1|\tau) = \prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})(1+q^{2n-1}e^{2\pi i(z+1)})(1+q^{2n-1}e^{-2\pi i(z+1)}) = \Pi(z|\tau)$
の式変形は自明．
$\Pi(z+\tau|\tau) = \prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})(1+q^{2n-1}e^{2\pi i(z+\tau)})(1+q^{2n-1}e^{-2\pi i(z+\tau)})\\ = \prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})(1+q^{2n-1}e^{2\pi iz}e^{2\pi i\tau})(1+q^{2n-1}e^{-2\pi iz}e^{-2\pi i\tau})\\ = \prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})(1+q^{2n-1}e^{2\pi iz}q^{2})(1+q^{2n-1}e^{-2\pi iz}q^{-2})\\ = \prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})(1+q^{2n+1}e^{2\pi iz})(1+q^{2n-3}e^{-2\pi iz})\\ = \left(\frac{1+q^{-1}e^{-2\pi iz}}{1+qe^{2\pi iz}}\right)\Pi(z|\tau)\\ = q^{-1}e^{-2\pi iz}\Pi(z|\tau)\\ = e^{-\pi i \tau}e^{-2\pi iz}\Pi(z|\tau)$
となり示すことができる．

零点

零点の位置

零点は $n,m\in \mathbb{Z}$ に対し $\frac{1}{2} + \frac{\tau}{2} + n + m\tau$ になる．

ここで無限積
$\Pi (z|\tau) = \prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})(1+q^{2n-1}e^{2\pi iz})(1+q^{2n-1}e^{-2\pi iz})$
について，積のどれか1つの要素が0になれば0になる．
$(1-q^{2n})$ については $\tau \in \mathbb{H}$ なので $\tau = x+yi$ として $|q| = |e^{\pi i \tau}| = |e^{\pi i x} e^{-\pi y}| = |e^{-\pi y}| < 1$
なので0にならない．

次に $(1+q^{2n-1}e^{2\pi iz})$ について，
$e^{\pi i \tau(2n-1)}e^{2\pi iz} = e^{\pi i \tau(2n-1) + 2\pi iz} = -1 = e^{(2k+1)\pi i}$
となるような $z$ を選べばよく
$\tau(2n-1) + 2z = 2k+1$
$z = \frac{1}{2}+\frac{\tau}{2} + k - n\tau$

となる $z$ が零点になる．

つまり[tex:0 $m\in\mathbb{z}$ を用いてn\in\mathbb{Z}]， $m\in\mathbb{Z}$ を用いて
$z = \frac{1}{2}+\frac{\tau}{2} + n - m\tau$ が $(1+q^{2n-1}e^{-2\pi iz})$ に対応する零点になる．

零点の位数

ヤコビの三重積の零点は一位の零点になる．

$e^z - 1 = 0$ となる零点は1位の零点になる．
実際
$\frac{e^z - 1}{z} = \frac{1}{1!} + \frac{z}{2!} + \frac{z^2}{3!} + \cdots$
であることからも，一位の零点であることはわかる．

三重積公式

ここでようやく本題の $\Theta (z|\tau) = \Pi (z|\tau)$ を示したい．

定義域と周期と零点が同じなので
$F(z|\tau) = \frac{\Theta (z|\tau)}{\Pi (z|\tau)}$
とすると， $z$ について零点同士が打ち消し合う．
また
$F(z+\tau|\tau) = \frac{\Theta (z + \tau|\tau)}{\Pi (z + \tau|\tau)}\\ =\frac{e^{-\pi i\tau}e^{-2\pi iz}\Theta (z|\tau)}{e^{-\pi i\tau}e^{-2\pi iz}\Pi (z|\tau)}\\ = \frac{\Theta (z|\tau)}{\Pi (z|\tau)}$
と二重周期関数になり，基本周期平行四辺形の内部に零点も極も存在しないので，リウヴィルの定理から $F(z)$ は $z$ に関して定数関数になる．

そこで $F(z|\tau)$ は $\tau$ に依存するかどうかという話になる．
最終的なゴールとしては
$F(z|\tau) = \frac{\Theta (z|\tau)}{\Pi (z|\tau)} = 1$
を示せたら今回のお話は終わり．

ここで $F(z|\tau)$ は $z$ によらないので，仮に $z=\frac{1}{2}$ とすると
$F(\frac{1}{2}|\tau) = \frac{\Theta (\frac{1}{2}|\tau)}{\Pi (\frac{1}{2}|\tau)} = \frac{\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^ne^{\pi in^2\tau}}{\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})(1-q^{2n-1})(1-q^{2n-1})}$
になる．

一方 $z=\frac{1}{4}$ とすると， $\frac{1}{i} = -i$ なので
$F(\frac{1}{4}|\tau) = \frac{\Theta (\frac{1}{4}|\tau)}{\Pi (\frac{1}{4}|\tau)}\\ = \frac{\sum_{n=-\infty}^{\infty}i^ne^{\pi in^2\tau}}{\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})(1+iq^{2n-1})(1-iq^{2n-1})}\\ = \frac{\sum_{n=-\infty}^{\infty}i^ne^{\pi in^2\tau}}{\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})(1+q^{4n-2})}$
になる．

ここで一旦分母のみ考える．
分母は積について絶対収束するので， $(1-q^{2n})$ を $(1-q^{4n})$ と $(1-q^{4n-2})$ と分けてやることで
$\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})(1+q^{4n-2}) = \prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{4n})(1-q^{4n-2})(1+q^{4n-2})$
に式変形ができる．

ここから同様の操作で
$\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{4n})(1-q^{4n-2})(1+q^{4n-2})\\ = \prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{4n})(1-q^{8n-4})\\ = \prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{8n})(1-q^{8n-4})(1-q^{8n-4})\\$
と式変形を行う．

分子 $\sum_{n=-\infty}^{\infty}i^ne^{\pi in^2\tau}$ については， $\frac{1}{i} = -i$ になることから， $n$ が奇数の時 $n$ と $-n$ で互いに打ち消し合う．

つまり奇数は全て消え，偶数だけ残るので， $n$ を $2n$ に置換しても差し支えなく，
$\sum_{n=-\infty}^{\infty}i^ne^{\pi in^2\tau} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^ne^{4\pi in^2\tau}$
になる．

つまり
$F(\frac{1}{4}|\tau) = \frac{\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^ne^{4\pi in^2\tau}}{\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{8n})(1-q^{8n-4})(1-q^{8n-4})}$
となり，
$F(\frac{1}{2}|\tau) =\frac{\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^ne^{\pi in^2\tau}}{\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})(1-q^{2n-1})(1-q^{2n-1})}$
と比較すると
$F(\frac{1}{4}|\tau) = F(\frac{1}{2}|4\tau)$
になる．