フィボナッチ数列の総和とかいう話のメモ - 音楽室と化学室と美術室とPC室の融合部屋　所謂自由室

なんとなくプログラムと戯れてるときに，昔後輩が「Youtubeで『フィボナッチ数列の総和は-1になる』という話を聞いた」というてたのを思い出したので考えてみた．

まぁ当然 $\sum_{n=0}^{\infty} F_n = \infty$ なのでそんなことはない．
ではこの $-1$ の出どころは何なのか？

$F_0 = 0$
$F_1 = 1$
$F_{n+2} = F_n + F_{n+1}$
を満たす数列をフィボナッチ数列というのでした．

一般項は以前計算した $F_n = \frac{\phi^n - (-\phi)^{-n}}{\sqrt{5}}$ ，ただし $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ です．
aryuaryuaryuryu.hatenablog.com

ということで，フィボナッチ数列の母関数
$G(z) = F_0 + F_1z + F_2z^2 + F_3z^3 + F_4z^4 + \cdots$
について考えてみる．
こいつの収束半径は $\frac{1}{R} = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{F_{n+1}}{F_n}\right| = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ なので， $R = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \sim 0.61\cdots$ になる．

絶対収束域内で以下の計算を行う．
$G(z) = F_0 + F_1z + F_2z^2 + F_3z^3 + F_4z^4 + \cdots$
と
$zG(z) = F_0z + F_1z^2 + F_2z^3 + F_3z^4 + F_4z^5 + \cdots$
の和を取ると
$(1+z)G(z) = F_0 + (F_1 + F_0)z + (F_2+F_1)z^2 + (F_3 + F_2)z^3 + (F_4+F_3)z^4 + \cdots$
つまり
$(1+z)G(z) = F_0 + F_2z + F_3z^2 + F_4z^3 + F_5z^4 + \cdots$
になる．

更に $z$ を乗じ
$(z^2+z)G(z) = F_0z + F_2z^2 + F_3z^3 + F_4z^4 + F_5z^5 + \cdots$
から
$(z^2+z)G(z) = F_0z + (G(z) - F_0 - F_1z)$
こうして $F_0 = 0$ と $F_1 = 1$ に注意しながら式を整理し，
$G(z) = -\frac{z}{z^2 + z - 1}$
が得られる．
この関数 $G(z)$ の極は $z = \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$ なので， $z = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ にある極のせいで，級数の収束半径が $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ になっていることがわかる．
定義域は $z = \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$ を除く複素平面全体になる．

$G(z) = -\frac{z}{z^2 + z - 1}$
自体は
$G(z) = F_0 + F_1z + F_2z^2 + F_3z^3 + F_4z^4 + \cdots$
の解析接続であり， $|z| < \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ の範囲内であれば
$F_0 + F_1z + F_2z^2 + F_3z^3 + F_4z^4 + \cdots = -\frac{z}{z^2 + z - 1}$
を満たす．

ここで収束半径を飛び越えて $z = 1$ を代入したもの（今回左辺は解析接続前の式に代入するためダブルクォーテーションで囲んでいる）が
$"F_0 + F_1 + F_2 + F_3 + F_4 + \cdots" = -1$
になるため，「形式的には」フィボナッチ数列の無限和が-1になるという式ができる．

蛇足ではあるが， $z = -1$ を代入した場合は
$"F_0 - F_1 + F_2 - F_3 + F_4 - \cdots" = -1$
になる．
$z:=-z$ とした場合は
$F_0 - F_1z + F_2z^2 - F_3z^3 + F_4z^4 - \cdots = \frac{z}{z^2 - z - 1}$
なので
$F_0 + F_2z^2 + F_4z^4 + F_6z^6 + F_8z^8 \cdots = \frac{1}{2}\left(\frac{z}{z^2 - z - 1} - \frac{z}{z^2 + z - 1}\right)$
$F_1z + F_3z^3 + F_5z^5 + F_7z^7 + F_9z^9 \cdots = -\frac{1}{2}\left(\frac{z}{z^2 - z - 1} + \frac{z}{z^2 + z - 1}\right)$
であり，
$"F_0 + F_2 + F_4 + F_6 + F_8 \cdots" = -1$
$"F_1 + F_3 + F_5 + F_7 + F_9 \cdots" = 0$
という式が得られる．