整数論勉強したいのに群論環論とかが本で大体出てきて，その度にわからんすぎて禿げそうなので，自分の中で整理するためにちょくちょく記事を書いていきたいと思います．
数学でwell-definedというワードがある．
例えば「Aの計算を前提としてBの計算を定義したい」という場合，「計算Aについて計算Cを計算Bとして考える」ということと，「計算Cがちゃんとできて，計算Bが定義できることの確認」のように途中に「C」を挟み，Bの計算を定義するというものです．
これでちゃんと定義できている場合は「well-defined」というみたいです．
ちゃんと定義できていない場合は「ill-defined」というワードがあるようです．
この話だけを聞くと「？？？」という状態ですが，例えば高校数学では整数乗から指数法則を用いて
を前提とし，
という有理数乗の自明な定義ができます．
では次のステップとして「有理数乗を用いて無理数乗を定義する」という状況を考えます．
この時点では「有理数乗（計算A）という定義から無理数乗（計算B）を定義したい」という状況が発生しているわけです．
これは高校数学では
「例えばは
という感じに計算を進めればいいよ」
という感じに教えられましたよね． よね？私はそのように教えられました．はい．皆さんもそうだという前提で話を進めていきます．
変な感じしませんでしたか？
例えば「」なんて計算していった結果
が計算できるとします．
じゃぁその計算の行く末と，別の方法でへの極限を取った行く末は同じ結果になるのでしょうか？
今の状況は「有理数乗（計算A）を用いて，目的の無理数への極限を取った指数の計算（計算C）について考えている」という状態です．
次の段階として「無理数への極限を取った指数の計算（計算C）が一意に定まることで，無理数乗（計算B）についての定義がちゃんとできる」ということについて考える必要があります．
で，これで一意に定まることを示すことができれば「有理数乗を用いた無理数乗の計算」がちゃんと定義できている（well-definedである）という流れです．
ここでは極限が一意に定まることの証明はしませんが，「そんなこと考えたことがなかった」という場合は無理数乗に思いを馳せてみても面白いかもしれないです．
今後何かしらまとめるときにwell-definedというワードが出るかもしれないので一応記事として残しておきます
