音楽室と化学室と美術室とPC室の融合部屋　所謂自由室

趣味と気分で適当に色々やります．なんかあるとたまに更新します．

多角数の逆数の総和についてのメモ

数学勉強

K角数P_K(n) = \frac{(K-2)n^2 - (K-4)n}{2}の逆数和
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{P_K(n)} = \sum_{n=1}\frac{2}{(K-2)n^2 - (K-4)n}
について調べた．

ついでに


にたどり着くまでの経緯も書いておく．



多角数とは

五角数と分割数 - 音楽室と化学室と美術室とPC室の融合部屋 所謂自由室
で議論した延長として，K角形に物を並べた個数について
P_K(n+1) - P_K(n) = (K-2)n + 1
が成り立つことから，漸化式を解くと
P_K(n) = \frac{(K-2)n^2 - (K-4)n}{2}
となり，これをK角数と呼ぶ．
K = 3のとき\frac{n^2 + n}{2}，K=4のときn^2になる．


多角数の逆数の総和

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{P_K(n)} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{(K-2)n^2 - (K-4)n}
に対して
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{P_K(n)} = \frac{2}{K-2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n - \frac{K-4}{K-2})}
と式変形を行う．
ここでディガンマ関数のワイエルシュトラス表示の変形
\psi(s) = -\frac{1}{s} - \gamma + \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+s}\right)
と函数等式からの変形
\psi(s+1) = \frac{1}{s} + \psi(s)
を用いると
\psi(s+1) + \gamma= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{s}{n(n+s)}

よってs= - \frac{K-4}{K-2}のとき
\psi\left(\frac{2}{K-2}\right) + \gamma= - \frac{K-4}{K-2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n- \frac{K-4}{K-2})}
帳尻をあわせて
-\frac{2}{K-4}\left(\psi\left(\frac{2}{K-2}\right) + \gamma\right)= \frac{2}{K-2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n- \frac{K-4}{K-2})}
最終的に
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{P_K(n)} = -\frac{2}{K-4}\left(\psi\left(\frac{2}{K-2}\right) + \gamma\right)
が得られる

括弧内部のディガンマ関数に関しては，ガウスのディガンマ関数の定理
\psi\left(\frac{p}{q}\right) = -\gamma -\frac{\pi}{2}\cot{\frac{\pi p}{q}} - \log{q} + \sum_{n=1}^{q-1}\cos\frac{2\pi np}{q}\log\left(2\sin{\frac{\pi n}{q}}\right)
を用いて計算ができる．


五角数の逆数の総和

得られた
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{P_K(n)} = -\frac{2}{K-4}\left(\psi\left(\frac{2}{K-2}\right) + \gamma\right)
に対しK=5の時を計算する
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{P_5(n)} = -2\left(\psi\left(\frac{2}{3}\right) + \gamma\right)

途中の\psi\left(\frac{2}{3}\right)に関して
\psi\left(\frac{2}{3}\right) = -\gamma -\frac{\pi}{2}\cot{\frac{2\pi}{3}} - \log{3} + \sum_{n=1}^{2}\cos\frac{4\pi n}{3}\log\left(2\sin{\frac{\pi n}{3}}\right)
を計算し
\psi\left(\frac{2}{3}\right) = -\gamma +\frac{\pi}{2\sqrt{3}} - \frac{3}{2}\log{3}

これを先の式に代入し
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{P_5(n)} = -2\left(-\gamma +\frac{\pi}{2\sqrt{3}} - \frac{3}{2}\log{3} + \gamma\right)
整理すると
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{P_5(n)} = 3\log{3} - \frac{\pi}{\sqrt{3}}
が得られる．


多角数の逆数和の変形

多角数の逆数和
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{P_K(n)} = \sum_{n=1}\frac{2}{(K-2)n^2 - (K-4)n}
について，今度は
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{P_K(n)} = \sum_{n=1}\frac{2}{(K-2)n^2\left(1 - \frac{K-4}{n(K-2)}\right)}
と変形する．
K\geq5に対し，等比級数の式で置換できるので
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{P_K(n)} = \sum_{n=1}\frac{2}{(K-2)n^2}\sum_{m=0}^{\infty}\left(\frac{K-4}{n(K-2)}\right)^m
nとKをまとめてやり
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{P_K(n)} = 2\cdot\frac{K-2}{(K-4)^2}\sum_{n=1}\sum_{m=0}^{\infty}\left(\frac{K-4}{K-2}\right)^{m+2}\cdot \frac{1}{n^{m+2}}
総和の順序を入れ替える
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{P_K(n)} = 2\cdot\frac{K-2}{(K-4)^2}\sum_{m=0}^{\infty}\left(\frac{K-4}{K-2}\right)^{m+2}\sum_{n=1}\frac{1}{n^{m+2}}
最後にゼータ関数に記号を置換し，mの総和の起点を調整すると
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{P_K(n)} = 2\cdot\frac{K-2}{(K-4)^2}\sum_{m=2}^{\infty}\left(\frac{K-4}{K-2}\right)^{m}\zeta(m)
が得られる

五角数の場合

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{P_5(n)} = 6\sum_{m=2}^{\infty}\frac{1}{3^m}\zeta(m)
が得られ，先の
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{P_5(n)} = 3\log{3} - \frac{\pi}{\sqrt{3}}
と合わせると
\sum_{m=2}^{\infty}\frac{1}{3^m}\zeta(m) = \frac{1}{2}\log{3} - \frac{\sqrt{3}}{18}\pi
という不思議な結果が得られる．

参考文献

SUMS OF THE POWERS OF RECIPROCALS OF POLYGONAL NUMBERS By Sameen Ahmed Khan