ラマヌジャンのτ関数についてのメモ(2) - 音楽室と化学室と美術室とPC室の融合部屋　所謂自由室

結論
$x\prod_{n=1}^{\infty}(1-x^n)^{24} = \sum_{n=0}^{\infty}\tau(n)x^n$
を満たす級数の係数列 $\tau(n)$ について， $L$ 関数は
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tau(n)}{n^s}=\prod_{p\in prime}\frac{1}{1-\tau(p)p^{-s}+p^{11-2s}}$
というオイラー積を持つ

τのオーダー
ラマヌジャンのL関数
参考文献

τのオーダー

ヤコビの三角数公式
$\begin{align*} \prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{n})^3 =& \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(2n+1)q^{\frac{n(n+1)}{2}}\\ \end{align*}$
から
$\begin{align*} \left(\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{n})^{24}\right) =& \left(\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{n})^3\right)^8\\ =& \left(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(2n+1)q^{\frac{n(n+1)}{2}}\right)^8\\ \leq& \left(\sum_{n=0}^{\infty}(2n+1)q^{\frac{n(n+1)}{2}}\right)^8 \end{align*}$

$\tau$ 単体の絶対値と，絶対値の総和では明らかに総和の方が大きいため
$\begin{align*} \left|\tau(n)\right|x^n <& \sum_{n=0}^{\infty}\left|\tau(n)\right|x^n \end{align*}$
と上から抑えることができ，三角数公式の8乗について $x=e^{-y}$ とすると
$\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty}(2n+1)x^{\frac{n(n+1)}{2}} \sim& 2\sum_{n=0}^{\infty}nx^{\frac{n^2}{2}}\\ <&2\int_0^\infty te^{-\frac{1}{2}yt^2}dt\\ <&2y^{-1}\int_0^\infty e^{-s}dt\\ =&2y^{-1}\\ \end{align*}$
であり， $x= 1-0$ 周辺では $\log{x} \leq 1-x$ なので適切に定数 $A$ を選ぶと
$\begin{align*} \left|\tau(n)\right|x^n <& \sum_{n=0}^{\infty}\left|\tau(n)\right|x^n < A(1-x)^{-8} \end{align*}$
最後に $x=1-\frac{1}{n}$ とすると $x^n\sim e^{-1}$ なので，かなり大雑把なオーダーだが
$\tau(n) = \mathcal{O}\left(n^8\right)$
が得られる

ラマヌジャンのL関数

導入

ラマヌジャンの $\tau$ は乗法的関数で $n\perp m$ の時 $\tau(n)\tau(m) = \tau(nm)$ を満たし，一方
$\tau\left(p^{k+1}\right) = \tau(p)\tau\left(p^k\right) - p^{11}\tau\left(p^{k-1}\right)$
という漸化式を持つことを以前計算した．
aryuaryuaryuryu.hatenablog.com

$F\left(s\right) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tau(n)}{n^s}$
を定義し，以下この関数のオイラー積について考える．
この関数は $\tau(n) = \mathcal{O}(n^8)$ というオーダーを持つ性質上 $\Re(s) > 9$ という条件で絶対収束する．

式変形

定義した関数 $F\left(s\right)$ は乗法的関数の性質よりゼータ関数のオイラー積同様
$\begin{align*} F\left(s\right) =& \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tau(n)}{n^s}\\ =& \prod_{p\in prime}\left(1+\frac{\tau\left(p\right)}{p^{s}}+\frac{\tau\left(p^{2}\right)}{p^{2s}}+\frac{\tau\left(p^{3}\right)}{p^{3s}} + \cdots\right) \end{align*}$
となる．
$\chi_p = 1+\frac{\tau\left(p\right)}{p^{s}}+\frac{\tau\left(p^{2}\right)}{p^{2s}}+\frac{\tau\left(p^{3}\right)}{p^{3s}} + \cdots$
と以下記述する．
これは互いに素でないと $\tau(n)\tau(m) = \tau(nm)$ という関係を持たない性質上
$\chi_p = \left(1-\frac{\tau(p)}{p^s}\right)^{-1}$
という式にはできない．
以下 $\chi_p$ について考えていく．

漸化式の計算

$\cos\alpha = \frac{1}{2}p^{-\frac{11}{2}}\tau(p)$
$a_\lambda = p^{-\frac{11}{2}\lambda}\tau(p^\lambda)$
とすると
$\tau\left(p^{k+1}\right) = \tau(p)\tau\left(p^k\right) - p^{11}\tau\left(p^{k-1}\right)$
は
$a_\lambda - 2\cos\alpha a_{\lambda - 1} + a_{\lambda - 2} = 0$
と書き直すことができる．
$a_0=1=\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\alpha}}$
$a_1=2\cos\alpha = \frac{\sin{(2\alpha)}}{\sin\alpha}$
から
$a_\lambda = \frac{\sin{\left((\lambda + 1)\alpha\right)}}{\sin{\alpha}}$
が予想され，
$\begin{align*} a_\lambda =& 2\cos\alpha a_{\lambda - 1} - a_{\lambda - 2}\\ =& 2\cos\alpha \frac{\sin{\left(\lambda\alpha\right)}}{\sin{\alpha}} - \frac{\sin{\left((\lambda - 1)\alpha\right)}}{\sin{\alpha}}\\ =& 2\frac{\cos\alpha\sin{\left(\lambda\alpha\right)}}{\sin{\alpha}} + \frac{-\sin{\left(\lambda\alpha\right)}\cos\alpha + \cos{\left(\lambda\alpha\right)}\sin{\alpha}}{\sin{\alpha}}\\ =& \frac{\sin{\left((\lambda+1)\alpha\right)}}{\sin{\alpha}}\\ \end{align*}$
と帰納法で確認ができる．

オイラー積の計算

$a_\lambda = p^{-\frac{11}{2}\lambda}\tau(p^\lambda)$
と置いていたので
$\tau(p^\lambda) = \frac{\sin{\left((\lambda+1)\alpha\right)}}{\sin{\alpha}}p^{\frac{11}{2}\lambda}$
である．

一方
$\chi_p = 1+\frac{\tau\left(p\right)}{p^{s}}+\frac{\tau\left(p^{2}\right)}{p^{2s}}+\frac{\tau\left(p^{3}\right)}{p^{3s}} + \cdots$
については
$\chi_p = \frac{1}{\sin{\alpha}}\sum_{\lambda=0}^{\infty}p^{\left(\frac{11}{2} - s\right)\lambda}\sin\left((\lambda + 1)\alpha\right)$
になる．

これを計算すると $b = p^{\frac{11}{2} - s}$ と簡単化し
$\begin{align*} \chi_p\sin{\alpha} =& \sum_{\lambda=0}^{\infty}b^{\lambda}\sin\left((\lambda + 1)\alpha\right)\\ =& \Im\left(\sum_{\lambda=0}^{\infty}b^{\lambda}e^{i(\lambda + 1)\alpha}\right)\\ =& \Im\left(e^{i\alpha}\sum_{\lambda=0}^{\infty}b^{\lambda}e^{i\lambda\alpha}\right)\\ =& \Im\left(e^{i\alpha}\frac{1}{1-be^{i\alpha}}\right)\\ =& \Im\left(\frac{\cos{\alpha} + i\sin{\alpha}}{1-b\cos{\alpha} - ib\sin{\alpha}}\right)\\ =& \Im\left(\frac{(\cos{\alpha} + i\sin{\alpha})(1-b\cos{\alpha} + ib\sin{\alpha})}{(1-b\cos{\alpha})^2 + (b\sin{\alpha})^2}\right)\\ =& \Im\left(\frac{\left(\cos{\alpha}-b\right) + i\sin{\alpha}}{1-2b\cos{\alpha} + b^2}\right)\\ =& \frac{\sin{\alpha}}{1-2b\cos{\alpha} + b^2}\\ \end{align*}$
より
$\begin{align*} \chi_p =& \frac{1}{1-2p^{\frac{11}{2} - s}\cos{\alpha} + p^{11-2s}}\\ \end{align*}$
最後に $\cos\alpha = \frac{1}{2}p^{-\frac{11}{2}}\tau(p)$ と置いていたので
$\begin{align*} \chi_p = \frac{1}{1-\tau(p)p^{-s} + p^{11-2s}} \end{align*}$
が最終的に得られる．

最後にオイラー積の式に $\chi$ を入れると
$\begin{align*} F\left(s\right) =& \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tau(n)}{n^s}\\ =& \prod_{p\in prime}\frac{1}{1-\tau(p)p^{-s} + p^{11-2s}} \end{align*}$
という式が得られる．

参考文献

ラマヌジャンその生涯と業績に想起された主題による十二の講義