Twitterで見た積分について - 音楽室と化学室と美術室とPC室の融合部屋　所謂自由室

なんとなくTwitterで見かけた

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— 級数 bot (@infseriesbot) 2020年12月4日

この式を計算してみようと思った．

簡単そうな方法としては，
$\int_{0}^{\pi} e^{e^{\cos{x}}\cos{(\sin{x})}} \cos{(e^{\cos{x}}\sin{(\sin{x})})}dx$
に
$i\int_{0}^{\pi} e^{e^{\cos{x}}\cos{(\sin{x})}} \sin{(e^{\cos{x}}\sin{(\sin{x})})}dx$
を足す．これは積分内部は実数だからコレが丸々虚部になるはず．
$\int_{0}^{\pi} \left(e^{e^{\cos{x}}\cos{(\sin{x})}} \cos{(e^{\cos{x}}\sin{(\sin{x})})} + ie^{e^{\cos{x}}\cos{(\sin{x})}} \sin{(e^{\cos{x}}\sin{(\sin{x})})}\right)dx$
$=\int_{0}^{\pi} e^{e^{\cos{x}}\cos{(\sin{x})}}\left( \cos{(e^{\cos{x}}\sin{(\sin{x})})} + i\sin{(e^{\cos{x}}\sin{(\sin{x})})}\right)dx$
$=\int_{0}^{\pi} e^{e^{\cos{x}}\cos{(\sin{x})}}e^{ (e^{\cos{x}}\sin{(\sin{x})}) + i(e^{\cos{x}}\sin{(\sin{x}))}}dx$
$=\int_{0}^{\pi} e^{e^{\cos{x}}\cos{(\sin{x})}}e^{ ie^{\cos{x}}\sin{(\sin{x})}}dx$
$=\int_{0}^{\pi} e^{e^{\cos{x}}\left( \cos{(\sin{x})} + i\sin{(\sin{x})}\right)} dx$
$=\int_{0}^{\pi} e^{e^{\cos{x}}e^{i\sin{x}}} dx$
$=\int_{0}^{\pi} e^{e^{e^{ix}}} dx$

次に $e^{ix} = z$ と置換して $dx = \frac{1}{iz}dz$ を計算する．
積分本体は
$\int e^{e^{z}}\frac{1}{iz}dz$
になって，積分経路Cは，上半平面を半径1でぐるっと回って， $-1 \to 1$ に向かうようにする．
ただ原点0で被積分関数は極になるから，半径 $\varepsilon$ で $π\to 0$ とぐるっと回って原点を回避する．
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これで半径1の半円を $R_1$ ，内部半径 $\varepsilon$ の半円を $R_2$ とし， $-1\to -\varepsilon$ の経路を $L_1$ ， $\varepsilon \to 1$ の経路を $L_2$ とすると， $z=0$ 以外では正則なので，
$\int_{C}e^{e^{z}}\frac{1}{iz}dz = \int_{R_1} e^{e^{z}}\frac{1}{iz}dz + \int_{R_2}e^{e^{z}}\frac{1}{iz}dz + \int _{L1}e^{e^{z}}\frac{1}{iz}dz + \int_{L_2}e^{e^{z}}\frac{1}{iz}dz = 0$
になるはず．
$\int_{R_1} e^{e^{z}}\frac{1}{iz}dz$
は今回求めたい
$\int_{0}^{\pi} e^{e^{e^{ix}}} dx$
で，
$\int_{R_2}e^{e^{z}}\frac{1}{iz}dz$
は $z=\varepsilon e^{ix}$ と置換すると $\frac{1}{iz}dz = dx$ で，積分範囲は $\pi \to 0$ になる
$\int_{\pi}^{0}e^{e^{\varepsilon e^{ix}}}dx$
ここで $\varepsilon \to 0$ とすると
$\int_{\pi}^{0}edx = -\pi e$

$\int _{L1}e^{e^{z}}\frac{1}{iz}dz$
や
$\int_{L_2}e^{e^{z}}\frac{1}{iz}dz$
等に関しては
$-i\int _{L1}e^{e^{z}}\frac{1}{z}dz$
とすると積分部分は実軸を通る実積分になるので，ここの部分は虚部になるんじゃないかな？って思う．

$\int_{R_1} e^{e^{z}}\frac{1}{iz}dz - i\int_{L_1}e^{e^{z}}\frac{1}{z}dz - i\int _{L_2}e^{e^{z}}\frac{1}{z}dz -\pi e = 0$
$\int_{R_1} e^{e^{z}}\frac{1}{iz}dz = \pi e + i\left( \int_{L_1}e^{e^{z}}\frac{1}{z}dz + \int _{L_2}e^{e^{z}}\frac{1}{z}dz \right)$
であり，こうして
$\int_{0}^{\pi} e^{e^{\cos{x}}\cos{(\sin{x})}} \cos{(e^{\cos{x}}\sin{(\sin{x})})}dx$
は
$\mathrm{Re}\left(\int_{0}^{\pi} e^{e^{e^{ix}}} dx\right)$
になるはずなので
$\int_{0}^{\pi} e^{e^{\cos{x}}\cos{(\sin{x})}} \cos{(e^{\cos{x}}\sin{(\sin{x})})}dx = \pi e$
が得られるって流れなんじゃないかなって思った．