複素解析のメモ(3)（テイラー展開から留数定理まで） - 音楽室と化学室と美術室とPC室の融合部屋　所謂自由室

今回の目標は式を展開すること．
ここまで記述しといたら大丈夫かなって思った．（何が）

テイラー展開
- 一致の定理の言い換え
ローラン展開
留数定理
- 留数計算
参考文献

テイラー展開

実関数のテイラー展開は
$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$
だったが，複素関数だとどうなるか？

簡単な展開方法は，前回のコーシーの積分公式
$\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}d\zeta$
を用いること．

ここで積分経路は $z$ を中心とした円だった．
この積分経路の円は $z$ を含めているならいくらでも広げることができるので，広げた積分経路の円の中心を $\alpha$ と起き，円の半径を $R$ とする．

次に分母に $\alpha -\alpha$ を足し，
$\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(\zeta)}{\zeta + \alpha - \alpha - z}d\zeta$
分母の計算順序を変え
$\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(\zeta)}{(\zeta - \alpha) - (z - \alpha)}d\zeta$
変形をする
$\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(\zeta)}{\zeta - \alpha}\frac{1}{1 - \frac{z - \alpha}{\zeta - \alpha}}d\zeta$

次に等比級数の式
$1+z+z^2+z^3+\cdots = \frac{1}{1-z}$
は $|z|<1$ の時に成立するので， $|\zeta - \alpha| = R$ ， $|z-\alpha| < R$ なので $\left|\frac{z - \alpha}{\zeta - \alpha}\right| < 1$ であるため
$\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(\zeta)}{\zeta - \alpha}\left(\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{z - \alpha}{\zeta - \alpha}\right)^n\right) d\zeta$
と変形をすることができ，この式を整理してやると
$\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f(\zeta)}{(\zeta - \alpha)^{n+1}} d\zeta\right) (z - \alpha)^n$
になる．

実関数と見た目が違うぞ？って思うかもしれないけど，コーシーの積分公式は
$f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_C\frac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^{n+1}}d\zeta$
なので，この式を用いると
$\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(\alpha)}{n!} (z - \alpha)^n$
という見慣れた式に落ち着く．

この式は明らかに冪級数展開であり，正則であるならば冪級数展開可能．

一致の定理の言い換え

ここで記事(1)で書いた一致の定理等の諸定理も
aryuaryuaryuryu.hatenablog.com

冪級数展開可能な関数の零点は孤立する

冪級数展開可能な関数 $f(z)$ と $g(z)$ が，ある集合全体で $f(z) = g(z)$ となるなら冪級数展開可能な範囲全体で $f(z) = g(z)$

という定理は

正則範囲内の関数の零点は孤立する

正則関数 $f(z)$ と $g(z)$ が，ある集合全体で $f(z) = g(z)$ となら正則範囲全体で $f(z) = g(z)$

というように書き直すことができる．

ローラン展開

導入

テイラー展開は正則点を中心とした展開だったが，正則でない点（特異点）を中心とした展開もたまにしたくなるときがある．
そういう場合を考えてみたい．

正則点 $z$ を中心とした円の積分は
$f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_\Gamma \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}d\zeta = 0$
になる．

今回はここから積分経路を変形していくが，展開中心 $\alpha$ を中心とする半径 $R$ の円 $C_1$ と， $\alpha$ を中心として $z$ を含まず， $C_1$ の内部に収まるような半径 $r< R$ の円 $C_2$ の積分路を作る．

$f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_\Gamma \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}d\zeta = \frac{1}{2\pi i}\int_{C_1}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}d\zeta - \frac{1}{2\pi i}\int_{C_2}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}d\zeta$

そして
$\frac{1}{2\pi i}\int_{C_1}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}d\zeta$ に関しては
テイラー展開と同様に点 $\alpha$ を中心とすると $|\zeta - \alpha|>|z -\alpha|$ なので
$\frac{1}{2\pi i}\int_{C_1}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}d\zeta = \frac{1}{2\pi i}\int_{C_1}\frac{f(\zeta)}{1 - \frac{z - \alpha}{\zeta - \alpha}}d\zeta = \frac{1}{2\pi i}\int_{C_1}\frac{f(\zeta)}{\zeta - \alpha}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{z-\alpha}{\zeta - \alpha}\right)^k\right)d\zeta$
より
$\frac{1}{2\pi i}\int_{C_1}\frac{f(\zeta)}{\zeta - \alpha + \alpha - z}d\zeta = \sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2\pi i}\int_{C_1}d\frac{f(\zeta)}{(\zeta - \alpha)^{k+1}}\zeta\right)(z-\alpha)^k$

同様に $-\frac{1}{2\pi i}\int_{C_2}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}d\zeta$ に関しては点 $\alpha$ を中心とすると $|\zeta- \alpha|<|z - \alpha|$ なので
$-\frac{1}{2\pi i}\int_{C_2}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}d\zeta = \frac{1}{2\pi i}\int_{C_2}\frac{f(\zeta)}{1 - \frac{\zeta - \alpha}{z - \alpha}}d\zeta = \frac{1}{2\pi i}\int_{C_2}\frac{f(\zeta)}{z - \alpha}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{\zeta-\alpha}{z - \alpha}\right)^k\right)d\zeta = \sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2\pi i}\int_{C_2}\frac{f(\zeta)}{(\zeta - \alpha)^{-k}}d\zeta\right)(z-\alpha)^{-k-1}$
値の帳尻をあわせて
$-\frac{1}{2\pi i}\int_{C_2}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}d\zeta = \sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2\pi i}\int_{C_2}\frac{f(\zeta)}{(\zeta - \alpha)^{-k+1}}d\zeta\right)(z-\alpha)^{-k}$
となるので

$f(z) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{2\pi i}\int_{C_1}d\frac{f(\zeta)}{(\zeta - \alpha)^{k+1}}\zeta\right)(z-\alpha)^k$
という展開が得られる．
この展開をローラン展開という．

シンプルに書くと

関数 $f(z)$ の展開は数列 $\{a\}$ を用いて
$\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n (z-\alpha)^n = \cdots + a_{-2}(z-\alpha)^{-2} + a_{-1}(z-\alpha)^{-1} + a_{0} + a_{1}(z-\alpha)^{1} + a_{2}(z-\alpha)^{2} + \cdots$
と表すことができ，この展開をローラン展開という．

実際にローラン展開を計算する

ローラン展開の式はわかったけど，実際にローラン展開をするというのは難しく，テイラー展開を利用した展開が主なものになる．

例１

高校数学でも扱う ${\rm sinc}{(z)} = \frac{\sin{z}}{z}$ 等に関して，原点中心の展開は，テイラー展開を用いると
${\rm sinc}{(z)} = \frac{z + \frac{1}{3!}z^3 + \frac{1}{5!}z^5 + \frac{1}{7!}z^7 + \cdots}{z} = 1 + \frac{1}{3!}z^2 + \frac{1}{5!}z^4 + \frac{1}{7!}z^6 + \cdots$
という展開ができる．

例２

例えば $f(z) = \frac{1}{z^3(z-1)}$ の原点中心の展開は，等比級数の公式から
$f(z) = \frac{1}{z^3}\cdot \left(1 + z + z^2 + z^3 + \cdots \right) = \frac{1}{z^3} + \frac{1}{z^2} + \frac{1}{z^1} + 1 + z + z^2 + \cdots$
であり，収束半径は $|z| < 1$ になる．

例３

他には $f(z) = e^{\frac{1}{z}}$ の原点中心の展開は，テイラー展開から
$f(z) = 1 + \frac{1}{1!}\frac{1}{z} + \frac{1}{2!}\frac{1}{z^2} + \frac{1}{3!}\frac{1}{z^3} + \frac{1}{4!}\frac{1}{z^4} + \cdots$
と展開ができる．

いくつかの特異点の種類

ローラン展開は大きく分けて，指数部が負の部分と0以上の部分に分けることができる．
$f(z) = \sum_{n = -\infty}^{-1} a_n(z-\alpha)^n + \sum_{n = 0}^{\infty} b_n(z-\alpha)^n$

ゼロ除算をしている点は特異点の1つであり，その点を中心にローラン展開をしている場合，以下の3つに分けることができる．

除去可能特異点

ここで負の部分の係数列 $\{a\}$ について，全ての $a_n$ に対して $a_n = 0$ になる場合，展開中心 $\alpha$ を除去可能特異点という．

例えば，例1で見た ${\rm sinc}$ 関数の展開は
${\rm sinc}{(z)} = 1 + \frac{1}{3!}z^2 + \frac{1}{5!}z^4 + \frac{1}{7!}z^6 + \cdots$
という展開であり，全ての $a_n$ に対して $a_n = 0$ になっているので，原点が除去可能特異点になる．

この点に対しては， $f(\alpha) = a_0$ と定義し直してやれば正則な点になるので， ${\rm sinc} 0 = 1$ と決めると原点でも正則な関数になる．

極

除去可能特異点とは対称的に， $a$ が残ってしまった場合について，展開中心 $\alpha$ を $a_{-k}\neq 0$ を満たす最大の $k$ を用いて $k$ 位の極と表現し， $k$ を位数という．

例えば $f(z) = \frac{1}{z^3(z-1)}$ の原点中心の展開
$f(z) = \frac{1}{z^3} + \frac{1}{z^2} + \frac{1}{z^1} + 1 + z + z^2 + \cdots$
では， $a_k\neq 0$ を満たす最大の $k$ は3なので，原点は3位の極になる．

一方位数が無限大の時は真性特異点と表現する．
例えば $f(z) = e^{\frac{1}{z}}$ の原点中心の展開は
$f(z) = 1 + \frac{1}{1!}\frac{1}{z} + \frac{1}{2!}\frac{1}{z^2} + \frac{1}{3!}\frac{1}{z^3} + \frac{1}{4!}\frac{1}{z^4} + \cdots$
だったので，原点は真性特異点になる．

零点

テイラー展開や除去可能特異点による展開により
$f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} b_n(z-\alpha)^n$
という形になる場合ももちろんあり， $b_0 = 0$ となる場合ももちろんある．
この時， $b_k \neq 0$ となる最小の $k$ を用いて
$f(z) = (z-\alpha)^k\left( \sum_{n=k}^{\infty}b_n(z-\alpha)^n\right)$
と変形することができる．

この時，展開中心 $\alpha$ を $k$ 位の零点と言う．

留数

ローラン展開した結果
$\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n (z-\alpha)^n = \cdots + a_{-2}(z-\alpha)^{-2} + a_{-1}(z-\alpha)^{-1} + a_{0} + a_{1}(z-\alpha)^{1} + a_{2}(z-\alpha)^{2} + \cdots$
となるが，特に $\frac{1}{z-\alpha}$ の係数 $a_{-1}$ を留数という．
基本的に色々な記述方法があるが，ここでは関数 $f(z)$ の点 $z = \alpha$ での留数は ${\rm Res}_\alpha f = a_{-1}$ と記述することにする．

留数定理

ローラン展開を使った面白い定理として，留数定理というものがある．

閉路 $C$ を積分経路とする．コーシーの積分定理から $C$ 内部の正則でない点を囲む積分経路 $C_n$ を全て用いて
$\int_C f(z) dz = \sum_{C_n}f(z)dz$
と表現できる．

$\alpha$ を中心とする半径 $r$ の積分経路での積分， $\int_C (z-\alpha)^n dz$ について，
$n\neq -1$ のとき $\int_C (z-\alpha)^ndz = 0$ ，
$n=-1$ のとき $\int_C (z-\alpha)^ndz = 2\pi i$
である．

$f(z)$ の点 $\alpha$ を中心としたローラン展開は
$\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n (z-\alpha)^n = \cdots + a_{-2}(z-\alpha)^{-2} + a_{-1}(z-\alpha)^{-1} + a_{0} + a_{1}(z-\alpha)^{1} + a_{2}(z-\alpha)^{2} + \cdots$
であり， $a_{-1}$ を留数という．

これら3つの要素を用いて考えると，積分内部の極の集合 $\alpha_n$ を用いて
$\int_C f(z)dz = 2\pi i\sum_n Res_{\alpha_n}f$
と表現できる．
この画期的な積分定理を留数定理という．

留数計算

いくら留数定理で留数を使えば積分が簡単に計算できる！なんてことがわかったとしても，いちいちローラン展開なんてやってられない場合もある．
そういうときは字数下げをしてみると良い時がちょくちょくある．

例えば関数 $f$ が3位の極だった場合
$f(z) = \frac{a_{-3}}{(z-\alpha)^3} + \frac{a_{-2}}{(z-\alpha)^2} + \frac{a_{-1}}{z-\alpha} + a_0 + a_1(z-\alpha) + \cdots$
この場合はまず $(z-\alpha)^3$ を両辺にかけて
$(z-\alpha)^2f(z) = a_{-3} + a_{-2}(z-\alpha) + a_{-1}(z-\alpha)^2 + a_0(z-\alpha)^3 + a_1(z-\alpha)^4 + \cdots$
微分をして次数下げをする
$\left((z-\alpha)^3f(z)\right)' = a_{-2} + 2a_{-1}(z-\alpha) + 3a_0(z-\alpha)^2 + 4a_1(z-\alpha)^3 + \cdots$
もう一回微分して次数下げをする
$\left((z-\alpha)^3f(z)\right)'' = 2a_{-1} + 3\cdot 2a_0(z-\alpha) + 4\cdot 3a_1(z-\alpha)^2 + \cdots$
あとは $z\to\alpha$ の極限をとると留数が得られる．
$\lim_{z\to \alpha}\left((z-\alpha)^3f(z)\right)'' = 2a_{-1}$