五角数と分割数

皆さん三角数って知ってますよね？

そうです， $1+2+3+4+\cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ といったやつです．
なんで三角数というのかというと，

f:id:Aryuaryuaryuryu:20211130214504p:plain — 三角数の図

といったように三角形にモノを並べていく時の総数だからですね．

見ての通り
$a_1 =1\\ a_{n+1} = a_n + n$
の漸化式から $a_n = \frac{n(n+1)}{2}$ で表せます．

四角数は平方数ですね． $a_n = n^2$
f:id:Aryuaryuaryuryu:20211130214807p:plain

そして五角数．
こいつは
f:id:Aryuaryuaryuryu:20211130215327p:plain
このような形で増加していき，漸化式は
$a_{n+1} = a_n + 3n + 1$
すなわち
$a_n = \frac{n(3n-1)}{2}$
になります．

今回はこの五角数が関わる定理と，分割数について調べてみました．

五角数定理
- 導出
分割数
- 定義
- 五角数と分割数
分割数についての式
- 式を整理する
- 恒等式を計算する
参考文献

五角数定理

導出

五角数定理は前回のヤコビの三重積
aryuaryuaryuryu.hatenablog.com
の特殊な場合で
$\sum_{m=-\infty}^{\infty}q^{m^2}e^{2\pi imz} = \prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})(1+q^{2n-1}e^{2\pi iz})(1+q^{2n-1}e^{-2\pi iz})$
という等式に対し
$q = x^{\frac{3}{2}}$ ， $e^{2\pi iz} = -x^{-\frac{1}{2}}$ を代入すると，右辺は
$\prod_{n=1}^{\infty}(1-x^{3n})(1+x^{\frac{6n-3}{2}}(-x^{-\frac{1}{2}}))(1+x^{\frac{6n-3}{2}}(-x^{\frac{1}{2}}))\\ = \prod_{n=1}^{\infty}(1-x^{3n})(1-x^{3n-2})(1-x^{3n-1})\\ =\prod_{n=1}^{\infty}(1-x^n)$
となる．
最後の変形は $3n$ と $3n-1$ と $3n-2$ を一つにまとめ上げた．

左辺は
$\sum_{n=-\infty}^{\infty}x^{\frac{3n^2}{2}}(-x^{-\frac{1}{2}})^n\\ = \sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^nx^{\frac{n(3n-1)}{2}}$
といったように
$x$ の指数に五角数が出てくる．

つまり
$\prod_{n=1}^{\infty}(1-x^n) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^nx^{\frac{n(3n-1)}{2}}$
という式になる．これが五角数定理という．収束域は $|x| < 1$ になる．

分割数

定義

唐突ですが，分割数というものがあります．

例えば3の数値を正の数の和で表す方法（順番は考えない）についてですが
$3 = 3 = 2+1 = 1 + 1 + 1$
の3通りとなります．
例えば $3 = 2 + 1 = 1 + 2$ のような分割は同じものとして考えることにします．

その分割の方法が何通りあるかというものを $p(n)$ といった感じに表します．今回の場合は $p(3) = 3$ です．

この分割数は数学ガールの村木先生からのカードでは

額面が，1円，2円，3円，4円，・・・・・・になっているコインがあるとする．
合計 $n$ 円を支払うためのコインの組み合わせが何通りあるかを考えよう．
この組み合わせの個数を $P_n$ とする．

と紹介されています．
www.amazon.co.jp

五角数定理と分割数にどのような関係性があるかというと
$\left(\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^mx^{\frac{n(3m-1)}{2}}\right)^{-1} = \prod_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1-x^n} = \sum_{k=0}^{\infty}p(k)x^k$
という式が成り立ちます．

どういうことかというと， $|x|<1$ のときは当然
$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$
となります．
言い換えると
$\frac{1}{1-x} = 1 + x^1 + x^{1+1} + x^{1+1+1} + \cdots$
です．

同様に
$\frac{1}{1-x^2} = 1 + x^2 + x^{2+2} + x^{2+2+2} + \cdots$
$\frac{1}{1-x^3} = 1 + x^3 + x^{3+3} + x^{3+3+3} + \cdots$
$\cdots$
と続いていきます．

これを全て掛け合わせると
$(1+x^1 + x^{1+1} + x^{1+1+1} + \cdots)(1 + x^2 + x^{2+2} + x^{2+2+2} + \cdots)(1+x^3 + x^{3+3} + x^{3+3+3} + \cdots)\cdots$
になります．

ここで $x^a$ の係数はいくらになるでしょう？
となると，例えば $a=3$ の場合は， $x^3$ になる通り数は
$x^{1+1+1}$
$x^{2}\cdot x^1$
$x^{3}$
の3つの和なので3が係数になります．

そうです． $x^a$ の係数は $p(a)$ になっています．

ここで $\prod_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1-x^n}$ というと，先程の五角数定理
$\prod_{n=1}^{\infty}(1-x^n) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^nx^{\frac{n(3n-1)}{2}}$
のちょうど逆数なので

$\left(\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^mx^{\frac{m(3m-1)}{2}}\right)^{-1} = \prod_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1-x^n} = \sum_{k=0}^{\infty}p(k)x^k$
になります．

分割数についての式

これで分割数について簡単に計算できそうな式を出せないかという話になります．

ここでちょうど
$\left(\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^mx^{\frac{m(3m-1)}{2}}\right)^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty}p(k)x^k$
という関係なので
$1 = \left(\sum_{k=0}^{\infty}p(k)x^k\right)\left(\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^mx^{\frac{m(3m-1)}{2}}\right)$
という恒等式を用いて考えてみましょう．

式を整理する

まず総和同士の積は，総和の範囲を揃えたほうが考えやすい．
そこで
$\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^mx^{\frac{m(3m-1)}{2}}\\ = \sum_{m=1}^{\infty}(-1)^mx^{\frac{m(3m-1)}{2}} + \sum_{m=1}^{\infty}(-1)^m x^{\frac{m(3m+1)}{2}} + (-1)^0x^0\\ = 1 + \sum_{m=1}^{\infty}(-1)^m\left(x^{\frac{m(3m-1)}{2}} + x^{\frac{m(3m+1)}{2}}\right)$
として，
$\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^mx^{\frac{m(3m-1)}{2}} = \sum_{m=0}^{\infty}s(m)x^m$
とまとめる．
ただし $s(m)$ は，
$m$ が自然数 $n\in\mathbb{N}$ に対し $\frac{n(3n\pm 1)}{2}$ で表すことができる場合， $s(m) = (-1)^n$ とする．
$m$ が自然数 $n\in\mathbb{N}$ に対し $\frac{n(3n\pm 1)}{2}$ で表すことができない場合， $s(m) = 0$ とする．

今後はこの式
$\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^mx^{\frac{m(3m-1)}{2}} = \sum_{m=0}^{\infty}s(m)x^m$
を使って考えていきたい．

恒等式を計算する

先程の式を使って
$1 = \left(\sum_{n=0}^{\infty}p(n)x^n\right)\left(\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^mx^{\frac{m(3m-1)}{2}}\right)\\ = \left(\sum_{n=0}^{\infty}p(n)x^n\right)\left(\sum_{m=0}^{\infty}s(m)x^m\right)\\ = \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}p(n)s(m)x^{n+m}$
と式変形を行う．
ここで $u = n+m$ ， $v = m$ と変数変換を行うと
$1 = \sum_{u=0}^{\infty}\sum_{v=0}^{u}p(u-v)s(v)x^{u}$
になる．
左右は恒等式なので，定数項の $u=0$ に着目すると
$1 = p(0)s(0)$
ここで $s(0) = 1$ なので $p(0) = 1$

同様に $u>0$ に対し $x^u$ の項に着目すると，恒等式は $x$ に依存しないので
$\sum_{v=0}^{u}p(u-v)s(v) = 0$
にならないといけない．

ここで
$\sum_{v=1}^{u}p(u-v)s(v)+ p(u)s(0) = 0$
と分割を行い $s(0) = 1$ なので
$p(u) = -\sum_{v=1}^{u}p(u-v)s(v)$
とすることで，分割数についての式が得られる．

$s(v)$ については， $\frac{n(3n\pm 1)}{2}$ 番目が $(-1)^n$ になることを考えると
$n=0$ のとき $\frac{0(3\cdot 0 \pm 1)}{2} = 0$ なので $s(0) = (-1)^0 = 1$ （使わない）
$n=1$ のとき $\frac{1(3\cdot 1 \pm 1)}{2} = 1,2$ なので $s(1) = s(2) = (-1)^1 = -1$
$n=2$ のとき $\frac{2(3\cdot 2 \pm 1)}{2} = 5,7$ なので $s(5) = s(7) = (-1)^{2} = 1$
$n=3$ のとき $\frac{3(3\cdot 3 \pm 1)}{2} = 12,15$ なので $s(12) = s(15) = (-1)^{3} = -1$
$\cdots$