音楽室と化学室と美術室とPC室の融合部屋　所謂自由室

趣味と気分で適当に色々やります．なんかあるとたまに更新します．

ディガンマ関数についてのメモ

数学勉強

ガンマ関数\Gamma(s)の対数微分をディガンマ関数と言う

\left(\log{\Gamma(s)}\right)' = \frac{\Gamma'(s)}{\Gamma(s)} = \psi(s)

その中で有理数に関しての式
\psi\left(\frac{p}{q}\right) = -\gamma -\frac{\pi}{2}\cot{\frac{\pi p}{q}} - \log{q} + \sum_{n=1}^{q-1}\cos\frac{2\pi np}{q}\log\left(2\sin{\frac{\pi n}{q}}\right)
まで調べてみた


相反公式からの変形

\Gamma(s)\Gamma(1-s) = \frac{\pi}{\sin{(\pi s)}}
に対し対数微分をとると
\psi(s) - \psi(1-s) = -\pi\cot{(\pi s)}


ワイエルシュトラスの表示からの変形

\frac{1}{\Gamma(s)} = se^{\gamma s}\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{s}{n}\right)e^{-\frac{s}{n}}
から対数微分を取ると
\psi(s) = -\frac{1}{s} - \gamma + \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+s}\right)
特にs=1のとき
\psi(1) = -\gamma
が得られる


関数等式からの変形

\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)
に対し対数微分をとると
\psi(s+1) = \frac{1}{s} + \psi(s)
これから
\psi(s+2) = \psi(s+1) + \frac{1}{s+1} = \psi(s) + \frac{1}{s+1} + \frac{1}{s}
と逐次的に繰り返すと
\psi(s+n) = \psi(s) + \sum_{m=1}^{n}\frac{1}{s+m-1}
が得られ，s=1の時
\psi(1+n) = -\gamma + \sum_{m=1}^{n}\frac{1}{m}
ここで調和数
H_N = \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}
を定義すると
\psi(1+n) = -\gamma + H_n
と書ける．


ガウスによるディガンマ関数の定理

ワイエルシュトラスの変形からの変形

ワイエルシュトラスの変形から
\psi(s) = -\frac{1}{s} - \gamma + \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+s}\right)
式を一旦整理する
\psi(s) + \gamma = \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+s}\right)

正整数p< qを用いs = \frac{p}{q}を代入する
\psi\left(\frac{p}{q}\right) + \gamma = \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{n+1} - \frac{q}{nq+p}\right)
ここでtを用い
\psi\left(\frac{p}{q}, t\right) + \gamma = \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{n+1} - \frac{q}{p+nq}\right)t^{p+nq}
という関数にする．tを0から1への極限を取った場合・・・t\to 1-の時\psi\left(\frac{p}{q}, t\right) = \psi\left(\frac{p}{q}\right)になる．
展開して
\psi\left(\frac{p}{q}, t\right) + \gamma = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}t^{p+nq} - q\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{p+nq}t^{p+nq}

テイラー展開による変形

テイラー展開
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^n}{n} = -\log{(1-x)}
を利用すると
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}t^{nq} = t^{p-q}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}t^{(n+1)q} = -t^{p-q}\log{(1-t^{q})}

及び飛び飛びのテイラー展開についてのメモ - 音楽室と化学室と美術室とPC室の融合部屋 所謂自由室での議論を用い，\omega = e^{\frac{2\pi i}{q}}とすると
q\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{p+nq}t^{p+nq} = -\sum_{n=0}^{q-1}\omega^{-np}\log{(1-\omega^nt)}
なので

\psi\left(\frac{p}{q}, t\right) + \gamma = -t^{p-q}\log{(1-t^{q})} + \sum_{n=0}^{q-1}\omega^{-np}\log{(1-\omega^nt)}

t→1-とする

\psi\left(\frac{p}{q}, t\right) + \gamma = -t^{p-q}\log{(1-t^{q})} + \sum_{n=0}^{q-1}\omega^{-np}\log{(1-\omega^nt)}
について，
\psi\left(\frac{p}{q}, t\right) + \gamma = -t^{p-q}\log{(1-t^{q})} + \left(t^{p-q}\log{(1-t)} - t^{p-q}\log{(1-t)}\right) + \left(\log{(1-t)} + \sum_{n=1}^{q-1}\omega^{-np}\log{(1-\omega^nt)}\right)
と分解を行い式変形
\psi\left(\frac{p}{q}, t\right) + \gamma = -t^{p-q}\log{\frac{1-t^{q}}{1-t}} - \left(t^{p-q} - 1\right)\log{(1-t)} + \sum_{n=1}^{q-1}\omega^{-np}\log{(1-\omega^nt)}
最後にt\to 1-と極限を取る

t^{p-q}\log{\frac{1-t^{q}}{1-t}}
について，\frac{1-t^{q}}{1-t}はロピタルの定理を用いると\frac{1-t^{q}}{1-t} \to q
また，0に近づく多項式と無限に飛ぶ対数の積の関係から\left(t^{p-q} - 1\right)\log{(1-t)}\to 0

よって
\psi\left(\frac{p}{q}\right) + \gamma = -\log{q} + \sum_{n=1}^{q-1}\omega^{np}\log{(1-\omega^n)}

p:=q-pを入れたものを足す

\psi\left(\frac{p}{q}\right) = - \gamma -\log{q} + \sum_{n=1}^{q-1}\omega^{np}\log{(1-\omega^n)}
に対し
\psi\left(\frac{q-p}{q}\right) = - \gamma -\log{q} + \sum_{n=1}^{q-1}\omega^{n(q-p)}\log{(1-\omega^n)}
を足した
\psi\left(\frac{p}{q}\right) + \psi\left(\frac{q-p}{q}\right) = - 2\gamma -2\log{q} + \sum_{n=1}^{q-1}\left(\omega^{np} + \omega^{n(q-p)}\right)\log{(1-\omega^n)}
ここで\omega = e^{\frac{2\pi i}{q}}としていたのと，\omega^q = 1であることから
\psi\left(\frac{p}{q}\right) + \psi\left(\frac{q-p}{q}\right) = - 2\gamma -2\log{q} + \sum_{n=1}^{q-1}2\cos{\frac{2\pi np}{q}}\log{(1-\omega^n)}

実部での比較

\psi\left(\frac{p}{q}\right) + \psi\left(\frac{q-p}{q}\right) = - 2\gamma -2\log{q} + \sum_{n=1}^{q-1}2\cos{\frac{2\pi np}{q}}\log{(1-\omega^n)}
について左辺は実数であるため，右辺も実数となる．
つまり\sum_{n=1}^{q-1}2\cos{\frac{2\pi np}{q}}\log{(1-\omega^n)}の虚部については0となるため，実部だけ考えればよく
\log{(1-\omega^n)} = \log{|1-\omega^n|}+ i\cdot\arg(1-\omega^n)
であるため
\Re{\left(\log{(1-\omega^n)}\right)} = \log\left|1-\omega^n\right|^{\frac{1}{2}} = {\frac{1}{2}}\log\left(\left(1-\cos{\frac{2\pi n}{q}}\right)^2 + \sin^2{\frac{2\pi n}{q}}\right) = {\frac{1}{2}}\log\left(2-2\cos{\frac{2\pi n}{q}}\right)
よって
\psi\left(\frac{p}{q}\right) + \psi\left(\frac{q-p}{q}\right) = - 2\gamma -2\log{q} + \sum_{n=1}^{q-1}\cos{\frac{2\pi np}{q}}\log\left(2-2\cos{\frac{2\pi n}{q}}\right)
半角の公式2-2\cos{\theta} = 4\sin^2{\frac{\theta}{2}}を用いて
\psi\left(\frac{p}{q}\right) + \psi\left(\frac{q-p}{q}\right) = - 2\gamma -2\log{q} + 2\sum_{n=1}^{q-1}\cos{\frac{2\pi np}{q}}\log\left(2\sin\frac{\pi n}{q}\right)
が得られる

相反公式の利用

\psi\left(\frac{p}{q}\right) + \psi\left(\frac{q-p}{q}\right) = - 2\gamma -2\log{q} + 2\sum_{n=1}^{q-1}\cos{\frac{2\pi np}{q}}\log\left(2\sin\frac{\pi n}{q}\right)
について
\psi(s) - \psi(1-s) = -\pi\cot{(\pi s)}
の関係を用いると
\psi(1-s) = \psi(s) + \pi\cot{(\pi s)}
になるため
2\psi\left(\frac{p}{q}\right) + \pi\cot{\frac{p\pi}{q}} = - 2\gamma -2\log{q} + 2\sum_{n=1}^{q-1}\cos{\frac{2\pi np}{q}}\log\left(2\sin\frac{\pi n}{q}\right)
こうして
\psi\left(\frac{p}{q}\right) = -\gamma -\frac{\pi}{2}\cot{\frac{\pi p}{q}} - \log{q} + \sum_{n=1}^{q-1}\cos\frac{2\pi np}{q}\log\left(2\sin{\frac{\pi n}{q}}\right)
が得られる