メルセンヌ素数と完全数についてのメモ

今回は以前にも取り上げた完全数についてです．

メルセンヌ素数は $2^k-1$ で表すことができる素数で，小さい順に3,7,127,8191,...と並びます．
この素数と完全数がどのように関係するかというと

偶数の完全数は，メルセンヌ素数 $M$ を用いて $\frac{M(M+1)}{2}$ と同値

という関係にあります．
以下証明．

ちなみに奇数の完全数は見つかっていません．存在するかも不明という実は未解決問題でもあります．

約数関数

約数関数はいくつか種類があり，一般的には $\sigma_k(n) = \sum_{m|n} m^k$ と定義されます．
$\sigma_0 (n)$ は $n$ の約数の個数を表し， $d(n)$ と表記します．
ちなみに $k = 1$ のとき $\sigma(n)$ と表記し，これが $n$ の約数の和になります．
例えば $\sigma(8) = 1 + 2 + 4 + 8 = 15$ です．
特に完全数では，その数自体も約数であるため $\sigma(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12$ のように， $\sigma(n) = 2n$ となります．

約数関数は例えば素数 $p$ に対し $p^a$ について $\sigma_k(p^a) = 1 + p^k + p^{2k} + \cdots + p^{ak}$ であり，
素数 $p_1,p_2$ に対し $p_1^{a_1}p_2^{a_2}$ については $\sigma_k(p_1^{a_1}p_2^{a_2}) = (1 + p_1^k + p_1^{2k} + \cdots + p_1^{ka_1})(1 + p_2^k + p_2^{2k} + \cdots + p_2^{ka_2})$ になります．
つまり $n\perp m$ のとき $\sigma_k(nm) = \sigma_k(n)\sigma_k(m)$ であることがわかります．

M(M+1)/2が完全数である証明

$M$ がメルセンヌ素数，いわゆる $M=2^k - 1$ が素数であるとき， $\frac{M+1}{2} = 2^{k-1}$ になります．

つまりメルセンヌ素数 $M$ を用いて $\frac{M(M+1)}{2} = M2^{k-1}$ になります．
$M$ は素数なので，約数関数 $\sigma(n)$ を用いて
$\sigma(M2^{k-1}) = \sigma(M)\sigma(2^{k-1})$
ここで $\sigma(2^{k-1}) = 1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{k-1}$ なので
$\sigma(2^{k-1}) = 2^k - 1$ になります．

また明らかに $\sigma(M) = 1 + M$ ．
つまり
$\sigma(M2^{k-1}) = \sigma(M)\sigma(2^{k-1}) = (1+M)(2^k - 1)$
ここで $M=2^k - 1$ と戻すと
$\sigma(M2^{k-1}) = \sigma(M)\sigma(2^{k-1}) = 2^k(2^k - 1) = 2^kM$
つまり
$\sigma\left(\frac{M(M+1)}{2}\right) = 2\cdot \frac{M(M+1)}{2}$
であるため示すことができた．

偶数の完全数がM(M+1)/2である証明

偶数の素因数分解の結果を，2と2以外の数と考慮すると，何かしらの奇数 $m$ と整数 $k>0$ を用いて $2^k m$ と表現できる．
ここで明らかに $2^k \perp m$ なので $\sigma(2^km) = \sigma(2^k)\sigma(m)$ となる．

ここで $\sigma(2^k) = 2^{k+1} - 1$ になるので
$\sigma(2^km) = (2^{k+1} - 1)\sigma(m)$
また $2^km$ を完全数と仮定すると $\sigma(2^km) = 2^{k+1}m$ なので
$2^{k+1}m = (2^{k+1} - 1)\sigma(m)$

ここで $2^{k+1} - 1 \perp 2^{k+1}$ であるため， $m$ と $\sigma(m)$ の最大公約数 $d$ を用いて $\sigma(m) = 2^{k+1}d$ と $m = (2^{k+1} - 1)d$ と表現できる．

$m=2^{k+1}d - d$ を $\sigma(m) = 2^{k+1}d$ で表現すると $m = \sigma(m) - d$
つまり $\sigma(m) = m + d$ になる．
仮定では $k>0$ としており，また計算結果では $\sigma(m) = 2^{k+1}d$ となっていたため，
$\sigma(m) = 2^{k+1}d = m + d> 2d$