フーリエ変換とラプラス変換等のメモ - 音楽室と化学室と美術室とPC室の融合部屋　所謂自由室

とりあえず今後必要になりそうなので予め記事を用意しておこうかなと思った．

何か思い出したら追加しようかなと思います．

フーリエ級数
複素フーリエ級数
フーリエ変換
ポアソンの和公式
テータ変換公式
ラプラス変換

フーリエ級数

周期 $T$ の周期関数 $f(t)$ について，三角関数のみの組み合わせで表現できるとしたら

$f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos{\frac{2n\pi}{T}t} + b_n\sin{\frac{2n\pi}{T}t})$

と表すことができるかもしれない．ここで両辺に $\cos\frac{2m\pi t}{T}$ をかけて $-\frac{T}{2}$ から $\frac{T}{2}$ まで積分すると

$a_n = \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos\frac{2n\pi}{T}tdt$

が，同様に $\sin\frac{2n\pi t}{T}$ をかけて積分してやると

$b_n = \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin\frac{2n\pi}{T}tdt$

が得られる．

これが実関数のフーリエ級数．

フーリエ級数について実はちょくちょく不連続点があっても連続する範囲があれば不連続点 $a$ では $\frac{f(a+0)+f(a-0)}{2}$ の値をとる．しかし不連続点付近で誤差がいくらか必ず発生する．これをギブズ現象という．

これにより矩形波や鋸波等の周期関数等も $\sin$ や $\cos$ 等で表現ができるようになる．

複素フーリエ級数

実関数のフーリエ級数をオイラーの公式を用いて変形したのが複素フーリエ級数になるけど個人的にはローラン展開

$F(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{F(\zeta)}{(\zeta - a)^{n+1}}d\zeta\right)(z-a)^n$

からの導出が好き．

実関数 $f(t)$ が周期 $T$ の周期関数なら，なんらかの関数 $F(z)$ が存在して

$f(t) = F(e^{\frac{2\pi t}{T}i})$

と書けるはず．

そこで $F(z)$ の原点を中心としたローラン展開

$F(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{F(\zeta)}{\zeta^{n+1}}d\zeta\right)z^n$

に $e^{\frac{2\pi t}{T}i}$ を代入して

$f(t) = F(e^{\frac{2\pi t}{T}i}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{F(\zeta)}{\zeta^{n+1}}d\zeta\right)e^{\frac{2\pi t}{T}in}$

にして，積分経路 $C$ を原点中心の円 $\zeta = e^{\frac{2\pi s}{T}i}$ で，始点と終点は $s=-\frac{T}{2}$ から $s=\frac{T}{2}$ までとすると

$f(t) = F(e^{\frac{2\pi t}{T}i}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{2\pi i}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{F(e^{\frac{2\pi s}{T}i})}{e^{\frac{2\pi s}{T}i(n+1)}}\frac{2\pi i}{T}e^{\frac{2\pi s}{T}i} ds\right)e^{\frac{2\pi t}{T}in}$

整理して

$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{f(s)}{e^{\frac{2\pi s}{T} i}}ds\right) e^{\frac{2\pi t}{T}in}$

が得られる．これが複素フーリエ級数．

この括弧の中を係数として

$\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{\frac{2\pi t}{T}in}$

$c_n = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(s)e^{-\frac{2\pi s}{T} i}ds$

としたものが本でよく見る複素フーリエ級数になる．

この複素フーリエ級数は微分方程式にも扱うことができるらしいが勉強不足のためよくわからない．申し訳ない．

フーリエ変換

みんな大好きフーリエ変換．

複素フーリエ級数は周期関数を対象としていたけど周期を $-\infty$ から $\infty$ とすると一般の関数に拡張できそうだ．

$\omega_n = \frac{2\pi n}{T}$

とおくと複素フーリエ級数

$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{f(s)}{e^{\frac{2\pi s}{T} i}}ds\right) e^{\frac{2\pi t}{T}in}$

は

$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{2\pi}\frac{2\pi(n+1) - 2\pi n}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{f(s)}{e^{\frac{2\pi s}{T} i}}ds\right) e^{\frac{2\pi t}{T}in}$

$f(t) = \frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left( (\omega_{n+1} -\omega_n)\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{f(s)}{e^{i\omega_n s}}ds\right) e^{i\omega_n t}$

$f(t) = \frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{f(s)}{e^{i\omega_n s}}ds\right) e^{i\omega_n t}\Delta \omega_n$

と変形できる． $\Delta \omega_n = \omega_{n+1} - \omega_n$ とおいた．

そして $T\to \infty$ にする際区分求積法を用いると積分に置き換えることができるので

$f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(s)}{e^{i\omega s}}ds\right) e^{i\omega t}d\omega$

が得られる．

ここで式を整理して

$f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}f(s)e^{-i\omega s}ds\right) e^{i\omega t}d\omega$

とするとフーリエ変換の式が導出でき，内部の括弧を分けると

$\mathcal{F}(t) = \int_{-\infty}^{\infty}f(s)e^{-i\omega s}ds$

$f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F}(\omega) e^{i\omega t}d\omega$

と見慣れた式になる．

ちなみに $\xi = \frac{n}{T}$ として導出すると

$\mathcal{F}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty}f(s)e^{-2\pi i\xi s}ds$

$f(t) = \int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F}(\xi) e^{2\pi i\xi t}d\xi$

とこっちはこっちですっきりした形になる．

ポアソンの和公式

フーリエ変換から得られる性質として，関数 $f(x)$ の無限和関数

$g(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n+x)$

について考えてみると，この $g(x)$ は周期1の周期関数

$g(x+1) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n+(x+1))$

$g(x+1) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}f(x+(n+1))$

$g(x+1) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}f(x+n) = g(x)$

だからフーリエ級数展開が存在して

$g(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{2\pi inx}$

と書けるはず．

この $g(x)$ に0を代入すると

$g(0) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n$

になる．

次に $f(x)$ のフーリエ変換

$\mathcal{F}(m) = \int_{-\infty}^{\infty}f(s)e^{-2\pi ims}ds$

について考えてみると

$\mathcal{F}(m) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{n}^{n+1}f(s)e^{-2\pi ims}ds$

と和を分割すると

$\mathcal{F}(m) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{0}^{1}f(n+s)e^{-2\pi im(s+n)}ds$

$\mathcal{F}(m) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{0}^{1}f(n+s)e^{-(2\pi imn) - (2\pi ims)}ds$

$\mathcal{F}(m) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{0}^{1}f(n+s)e^{ -2\pi ims}ds$

になる．

総和部分

$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{0}^{1}f(n+s)$

は明らかに

$g(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n+x)$

と一致するから， $g(x)$ のフーリエ変換

$g(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{2\pi inx}$

で置換して

$\mathcal{F}(m) = \left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{2\pi inx} \right)e^{ -2\pi ims}ds$

$\mathcal{F}(m) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n\int_{0}^{1}e^{2\pi i(n-m)s}ds$

この積分部分

$\int_{0}^{1}e^{2\pi i(n-m)s}ds$

は $n=m$ のときに1になって， $n\neq m$ のときに0になるから

$\mathcal{F}(m) = c_m$

になる．以前求めた

$g(0) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n$

と照らし合わせると

$\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\mathcal{F}(n)$

が得られる．

テータ変換公式

以前ゼータ関数の解析接続を説明した際に出したテータ変換公式について．

aryuaryuaryuryu.hatenablog.com

ポアソンの和公式

$\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\mathcal{F}(n)$

を関数

$f(x) = e^{-\pi x^2 y}$

として考える．

このフーリエ変換はまともに計算するのは大変なので，微分方程式を用いて考えていく．

$\mathcal{F}(m) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi s^2 y}\cdot e^{-2\pi ims}ds$

両辺を $m$ について微分すると

$\frac{d\mathcal{F}(m)}{dm} = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi s^2 y}\cdot (-2\pi is)e^{-2\pi ims}ds$

$\frac{d\mathcal{F}(m)}{dm} = \int_{-\infty}^{\infty}(-2\pi ys)e^{-\pi s^2 y}\cdot e^{-2\pi ims}\cdot \frac{i}{y}ds$

$\frac{d\mathcal{F}(m)}{dm} = \int_{-\infty}^{\infty}\left(e^{-\pi s^2 y}\right)'\cdot e^{-2\pi ims}\cdot \frac{i}{y}ds$

と部分積分ができる形になるので部分積分すると

$\frac{d\mathcal{F}(m)}{dm} = \left[e^{-\pi s^2 y}\cdot e^{-2\pi ims}\cdot \frac{i}{y}\right] - \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi s^2 y} \cdot \left(e^{-2\pi ims}\right)' \frac{i}{y}ds$

$\frac{d\mathcal{F}(m)}{dm} = - \frac{2\pi m}{y}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi s^2 y} \cdot e^{-2\pi ims}ds$

$\frac{d\mathcal{F}(m)}{dm} = - \frac{2\pi m}{y}\mathcal{F}(m)$

と微分方程式が得られる．

この微分方程式は変数分離で解ける形で

$\frac{\mathcal{F}'(m)}{\mathcal{F}(m)} = - \frac{2\pi m}{y}$

$\log{\mathcal{F}(m)} = - \frac{\pi m^2}{y} + C_1$

が得られるので， $e^{C_1} = C$ として

$\therefore \mathcal{F}(m) = Ce^{- \frac{\pi m^2}{y}}$

になる．ここで $m=0$ を代入すると $C$ が得られる

$\mathcal{F}(0) = C$

ことがわかるので，

$\mathcal{F}(m) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi s^2 y}\cdot e^{-2\pi ims}ds$

に $m=0$ を代入すると

$\mathcal{F}(m) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi s^2 y}ds$

となり， $s\sqrt{\pi y} = v$ とおくと

$C=\frac{1}{\sqrt{\pi y}} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-v^2}dv$

とガウス積分が出てくる．

これでようやく

$C=\frac{1}{\sqrt{y}}$

がわかったので

$\mathcal{F}(m) = \frac{1}{\sqrt{y}}e^{-\frac{\pi m^2}{y}}$

が得られる．

これでポアソンの和公式

$\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\mathcal{F}(n)$

に $f(x) = e^{-\pi x^2 y}$ と $\mathcal{F}(m) = \frac{1}{\sqrt{y}}e^{-\frac{\pi m^2}{y}}$ をぶちこむと

$\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\pi n^2 y} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{y}}e^{-\frac{\pi n^2}{y}}$

になり，ここで見やすくするためにテータ関数

$\vartheta (x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\pi n^2 x}$

を定義すると

$\vartheta(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}\vartheta\left(\frac{1}{x} \right)$

といった函数等式を見ることができる．

この関係をテータ変換公式というらしい．

函数等式は数論では保型形式とも呼ばれているらしいが，まだ勉強不足なのでこれ以上は語れない．

ラプラス変換

残念ながらフーリエ変換

$\mathcal{F}(m) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi s^2 y}\cdot e^{-2\pi ims}ds$

では関数が収束しない場合がある．

そこで $e^{-\sigma t}$ をかけることで $t\to \infty$ のときに収束するようにした．

しかし今度は $t\to -\infty$ のときに指数関数的に増大していくのでユニット関数

$u(t) = 0 (t\lt 0)$

$u(t) = 1 (t\geq 0)$

をかけることで得られる関数 $g(t,\sigma) = f(t) u(t) e^{-\sigma t}$ をフーリエ変換する．

$\mathcal{F}[g](\omega,\sigma) = \int_{-\infty}^{\infty}g(t,\sigma)e^{-i\omega t}dt$

$\mathcal{F}[g](\omega,\sigma) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t) u(t) e^{-\sigma t}e^{-i\omega t}dt$

$\mathcal{F}[g](\omega,\sigma) = \int_{0}^{\infty}f(t)e^{-(\sigma + i\omega)t}dt$

とまとめられ， $s = \sigma + i\omega$ とおくと

$\mathcal{L}(s) = \int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt$

が得られる．これがラプラス変換で，逆変換はというと，こっちもフーリエ逆変換

$f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F}(\omega) e^{i\omega t}d\omega$

から

$g(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{L}(s) e^{i\omega t}d\omega$

$s = \sigma + i\omega$ と置換すると積分は $\sigma - i\infty \to \sigma + i\infty$ になるので

$f(t) u(t) e^{-\sigma t} = \frac{1}{2\pi}\int_{\sigma -i\infty}^{\sigma + i\infty}\mathcal{L}(s) e^{(s-\sigma) t}\frac{ds}{i}$

$f(t) u(t) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma -i\infty}^{\sigma + i\infty}\mathcal{L}(s) e^{s t}ds$

この結果から $u(t)$ を外した

$f(t) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma -i\infty}^{\sigma + i\infty}\mathcal{L}(s) e^{s t}ds$

と記されることが多いが，この場合は $t\lt 0$ のときは $f(t) = 0$ になる．

このラプラス逆変換は積分経路を実軸上の $s = \sigma$ から上下に $R$ 進み， $s = \sigma$ を中心とした半円を回る経路に対し $R\to \infty$ として積分したもので，

f:id:Aryuaryuaryuryu:20200219223051p:plain — 積分経路

一般的にJordanの補助定理で外周の半円部分の積分は0になってしまい，メインの積分経路のみが残るので，留数さえ全て出すことができれば大丈夫なのだが，一般的には対応表で照らし合わせて計算するらしいけど，対応表は各自調べて・・・

学生は覚えるのが普通らしいけど私は記憶力が悪いので覚えるのは難しい気がする．

正直その対応表に高次微分の場合もあるらしく，それを使えば微分方程式を解くのに便利らしい．・・・が，ラプラス変換自体はラプラス変換と逆ラプラス変換の式の導出にしか興味がなかったのでまた必要となったときに．