個人的なメモ - 音楽室と化学室と美術室とPC室の融合部屋　所謂自由室

書籍読んでて途中の計算に詰まったので個人的にメモ

P103(A)
P139(1)
参考文献

P103(A)

$\begin{align} \int_0^1\frac{x-1}{\log{x}}x^{k-1}dx = \log\left(1+\frac{1}{k}\right) \end{align}$
を示す．

$\begin{align} x - 1 = e^{\log{x}} - 1 = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(\log{x}\right)^n \end{align}$
より
$\begin{align} \int_0^1\frac{x-1}{\log{x}}x^{k-1}dx = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\int_0^1\left(\log{x}\right)^{n-1}x^{k-1}dx \end{align}$
からの式変形について

===以下行間埋め箇所===
$\begin{align} \int_0^1\left(\log{x}\right)^{n-1}x^{k-1}dx \end{align}$ に関して $\begin{align} x = e^{-t} \end{align}$ で置換すると

$\begin{align} \int_0^1\left(\log{x}\right)^{n-1}x^{k-1}dx = &\int_{\infty}^{0}\left(-t\right)^{n-1}e^{-t(k-1)}\left(-e^{-t}\right)dt\\ = &(-1)^{n-1}\int^{\infty}_{0}t^{n-1}e^{-tk}dt\\ = &(-1)^{n-1}k^{-n}\int^{\infty}_{0}s^{n-1}e^{-s}ds\\ = &(-1)^{n-1}k^{-n}(n-1)!\\ \end{align}$

途中で $\Gamma(s) = \int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{s-1}dt$ ， $\Gamma(n) = (n-1)!$ を用いた．
===以上行間埋め箇所===

すると
$\begin{align} \int_0^1\frac{x-1}{\log{x}}x^{k-1}dx = &\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\int_0^1\left(\log{x}\right)^{n-1}x^{k-1}dx\\ = &\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}(-1)^{n-1}k^{-n}(n-1)!\\ = &\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}k^{-n}\\ = &\log{\left(1+\frac{1}{k}\right)} \end{align}$
が得られる

P139(1)

===以下行間埋め箇所===

多重フルビッツゼータ

$Z_f(w,s) = \frac{1}{\Gamma(w)}\int_{0}^{1}f(t)t^{-s-1}\left(\log{t}\right)^{w-1}dt$
とする．

この式について，例えば $g(t) = \frac{1}{1-t^{-\omega}}$ とすると
$\begin{align} Z_g(w, s) = &\frac{1}{\Gamma(w)}\int_{1}^{\infty}g(t)t^{-s-1}\left(\log{t}\right)^{w-1}dt\\ =&\frac{1}{\Gamma(w)}\int_{1}^{\infty}\frac{1}{1-t^{-\omega}}t^{-s-1}\left(\log{t}\right)^{w-1}dt\\ =&\frac{1}{\Gamma(w)}\int_{1}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{\infty}t^{-k\omega}\right)t^{-s-1}\left(\log{t}\right)^{w-1}dt\\ =&\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\Gamma(w)}\int_{1}^{\infty}t^{-(k\omega + s +1)}\left(\log{t}\right)^{w-1}dt\\ =&\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\Gamma(w)}\int_{0}^{\infty}e^{-(k\omega + s)u}u^{w-1}du\\ =&\sum_{k=0}^{\infty}\left(k\omega + s\right)^{-w}\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}e^{-v}v^{s-1}du\\ =&\sum_{k=0}^{\infty}\left(k\omega + s\right)^{-w}\\ \end{align}$
これは多重フルビッツゼータ関数
$\zeta_r(w,s,\boldsymbol{\omega}) = \sum_{k_1,\cdots,k_r\geq 0}\left(k_1\omega_1 + \cdots + k_r\omega_r+ s\right)^{-w}$
の $r=1,\ \boldsymbol{\omega} = (\omega)$ の場合に対応する．

基本的に $\boldsymbol{\omega} = (\omega_1,\cdots,\omega_r)$ であり
$f(x) = \frac{1}{1-x^{-\omega_1}}\cdot\frac{1}{1-x^{-\omega_2}}\cdot\cdots\cdot \frac{1}{1-x^{-\omega_r}}\cdot$
としたときの結果は $Z_f(w, s) = \zeta_r(w,s,\boldsymbol{\omega})$ になる．

多重ガンマ

多重フルビッツゼータを用いて多重ガンマ関数
$\Gamma_r(s, \boldsymbol{\omega}) = \exp\left(\frac{\partial}{\partial w}\zeta_r\left(w, s, \boldsymbol{\omega}\right)\mid_{w=0}\right)$
を定義できる．右下にしれっとある $w=0$ は， $w=0$ を代入した結果を示す．
この多重ガンマ関数について， $r=1,\ \boldsymbol{\omega} = (1)$ の時に
$\Gamma_1(s,(1)) = \frac{\Gamma(s)}{\sqrt{2\pi}}$
というレルヒの公式が存在する．

レルヒの公式

ここの行間埋め箇所では以降フルビッツゼータ関数を $\zeta(w,s) = \sum_{k=0}^{\infty}\left(k + s\right)^{-w}$ と書き， $\zeta_{w}(0,s)$ は $\frac{\partial}{\partial w}\zeta(w, s)$ に $w=0$ を代入したものを表す．

二階微分が等しくなること

レルヒの公式の導出は，まず $\log{\Gamma(s)}$ の $s$ による二階微分と $\zeta_{w}(0,s)$ の $s$ による二階微分が等しくなることを示す．
$\begin{align} \frac{\partial^2}{\partial s^2}\zeta(w,s) =& w(w+1)\sum_{k=0}^{\infty}\left(k + s\right)^{-w-2}\\ =& w(w+1)\zeta(w+2,s) \end{align}$
から
$\begin{align} \frac{\partial}{\partial w}\frac{\partial^2}{\partial s^2}\zeta(w,s) =& \frac{\partial^2}{\partial s^2}\frac{\partial}{\partial w}\zeta(w,s)\\ =& (w+1)\zeta(w+2,s) + w\zeta(w+2, s) - w(w+1)(w+2)\zeta(w+3, s) \end{align}$
と偏微分を行い
$\begin{align} \frac{\partial^2}{\partial s^2}\zeta_w(0,s) =& \zeta(2,s) \end{align}$
が得られる．

一方ガンマ関数の解析接続表示 $\Gamma(z) = \lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\prod_{k=0}^{n}\left(z+k\right)}$ から
$\log{\Gamma(s)} = \lim_{n\to\infty}\left(s\log{n} + \log{n!} - \sum_{k=0}^{n}\log\left(s+k\right)\right)$
これを二階微分すると
$\left(\log{\Gamma(s)}\right)' = \lim_{n\to\infty}\left(\log{n} - \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{\left(s+k\right)}\right)$
$\left(\log{\Gamma(s)}\right)'' = \lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{\left(s+k\right)^2}\right)$
であり，確かに
$\frac{\partial^2}{\partial s^2}\zeta_w(0,s) = \frac{d^2}{ds^2}\log{\Gamma(s)}$
であることが確認できた．

差が一次関数になること

つまり
$\frac{\partial^2}{\partial s^2}\zeta_w(0,s) -\frac{d^2}{ds^2}\log{\Gamma(s)}= 0$
なので，両辺積分
$\frac{\partial}{\partial s}\zeta_w(0,s) -\frac{d}{ds}\log{\Gamma(s)}= C_1$
もう一度積分を行い
$\zeta_w(0,s) - \log{\Gamma(s)}= C_1s + C_2$
つまり2つの関数の差は一次関数になることが確認できる．

定数であること

また $\zeta_w(0,s),\ \log{\Gamma(s)}$ の双方とも $f(s+1) = f(s) + \log{s}$ という性質を持つ．
$\begin{align} \zeta(w,s+1) = &\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(k+s+1)^w}\\ = &\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(k+s)^w} - \frac{1}{s^w}\\ = &\zeta(w,s) - \frac{1}{s^w}\\ \end{align}$
から確かに
$\zeta_w(0,s+1) = \zeta_w(0,s) +\log{s}$
が得られるし，
$\log\Gamma(s+1) = \log s + \log\Gamma(s)$
でもある．
つまり
$\zeta_w(0,s+1) - \log{\Gamma(s+1)}= \zeta_w(0,s) - \log{\Gamma(s)}$
について
$(s+1)C_1 + C_2 = sC_1 + C_2$
から
$C_1 = 0$
が得られるので，
$\zeta_w(0,s) - \log{\Gamma(s)} = \mathrm{const.}$
である．

定数の特定

つまり結果は $s$ に依存しないことが確認できたので， $s=\frac{1}{2}$ を入れた際の値を考える．
$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$ なので， $\log{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)} = \frac{1}{2}\log{\pi}$

一方
$\begin{align} \zeta\left(w,\frac{1}{2}\right) = &\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\left(k+\frac{1}{2}\right)^{w}}\\ = &2^w\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\left(2k+1\right)^{w}}\\ = &2^w\left(\zeta(w) - 2^{-w}\zeta(w)\right)\\ = &\zeta(w)\left(2^w - 1\right)\\ \end{align}$
なので
$\begin{align} \zeta_w\left(w,\frac{1}{2}\right) &= \left(\zeta(w)\right)'\left(2^s - 1\right) + \left(\log{2}\right)2^{w}\zeta(w)\\ \zeta_w\left(0,\frac{1}{2}\right) &= \left(\log{2}\right)\zeta(0)\\ &=-\frac{1}{2}\log{2} \end{align}$
が得られる．
つまり $\zeta_w(0,s) - \log{\Gamma(s)} = -\log{\sqrt{2\pi}}$ が得られ， $\Gamma_1(s,(1)) = \frac{\Gamma(s)}{\sqrt{2\pi}}$ を示すことができた．

レルヒの公式についてもう少し

$\zeta_r(w,s,\boldsymbol{\omega}) = \sum_{k_1,\cdots,k_r\geq 0}^{\infty}\left(k_1\omega_1 + \cdots + k_r\omega_r+ s\right)^{-w}$
の $r=1,\ \boldsymbol{\omega} = (\omega)$ の場合
$\begin{align} \zeta_1\left(w,s,(\omega)\right) = &\sum_{k=0}^{\infty}\left(k\omega + s\right)^{-w}\\ = &\omega^{-w}\sum_{k=0}^{\infty}\left(k + \frac{s}{\omega}\right)^{-w}\\ \end{align}$
と式変形できるため， $\zeta_1\left(w,s,(\omega)\right) = \omega^{-w}\zeta\left(w,\frac{s}{\omega}\right)$ より
$\zeta_{1\ w}\left(w,s,(\omega)\right) = (-\log{\omega})\omega^{-w}\zeta\left(w,\frac{s}{\omega}\right) + \omega^{-w}\zeta_w\left(w,\frac{s}{\omega}\right)$
なので
$\zeta_{1\ w}\left(0,s,(\omega)\right) = (-\log{\omega})\zeta\left(0,\frac{s}{\omega}\right) + \log{\Gamma\left(\frac{s}{\omega}\right)} - \log{\sqrt{2\pi}}$

最後に $\zeta\left(0,a\right)$ の値を導出して行間埋めが終わる．

フルビッツゼータ関数の解析接続

$\Gamma(w) = \int_{0}^{\infty}t^{w-1}e^{-t}dt$
に関して $t=(n+a)u$ と置換を行うと
$\begin{align} \Gamma(w) =& \int_0^{\infty}(n+a)^{w-1}e^{-(n+a)u}(n+a)du\\ =& (n+a)^w\int_0^{\infty}u^{w-1}e^{-(n+a)u}du \end{align}$
より
$(n+a)^{-w}\Gamma(w) = \int_0^{\infty}t^{w-1}e^{-(n+a)t}dt$
つまり
$\zeta(w, a)\Gamma(w) = \int_0^{\infty}\frac{t^{w-1}e^{-at}}{1-e^{-t}}dt$

積分 $C$ を $-\infty$ から $0$ まで移動し，原点周りを反時計回りに一周後， $0$ から $-\infty$ に戻るという経路とし
$\int_C\frac{t^{w-1}e^{at}}{1-e^{t}}dt$
を考える．
ゼータ関数の解析接続と同様，中心を一周する積分は消えるため
$\begin{align} \int_C\frac{t^{w-1}e^{at}}{1-e^{t}}dt =&-e^{-\pi i}\int_0^{\infty}\frac{t^{w-1}e^{at}}{1-e^{t}}dt + e^{\pi i}\int_0^{\infty}\frac{t^{w-1}e^{at}}{1-e^{t}}dt\\ =& (e^{(w-1)\pi i} - e^{-(w-1)\pi i})\int_0^{\infty}\frac{t^{w-1}e^{at}}{1-e^{t}}dt\\ =& (e^{(w-1)\pi i} - e^{-(w-1)\pi i})\zeta(w, a)\Gamma(w)\\ =& 2i\sin{\left( (w-1)\pi\right)}\zeta(w, a)\Gamma(w)\\ =& \frac{2\pi i}{\Gamma(1-w)}\zeta(w, a)\\ \end{align}$
より
$\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{t^{w-1}e^{at}}{1-e^{t}}dt =\frac{1}{\Gamma(1-w)}\zeta(w, a)$

ここで $s\leq 0$ の整数の時，左辺の被積分関数の原点の留数が結果になる． $s=0$ の時は $\frac{e^{at}}{1-e^{t}}$ を展開した時の定数項を導出すればよい．
$\begin{align} \frac{t}{e^t - 1} &= \sum_{u=0}^{\infty}\frac{B_u}{u!}t^u\\ e^{at} &= \sum_{v=0}^{\infty}\frac{1}{v!}(at)^v \end{align}$
の2つの式から，１つ目の式の左辺に注意をして
$\begin{align} \frac{e^{at}}{1-e^t} =& -\sum_{u=0}^{\infty}\sum_{v=0}^{\infty}\frac{B_ua^v}{u!v!}t^{u+v-1}\\ \end{align}$
ここで右辺の定数項は $u+v-1 = 0$ ，つまり $(u, v) = (1,0),\ (0, 1)$ の時なので
$\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{t^{-1}e^{at}}{1-e^{t}}dt = -(B_0a + B_1)$
ここで $B_0 =1,\ B_1 = -\frac{1}{2}$ なので $\frac{1}{2} - a$ が $s=0$ の時の積分の結果になる．
函数等式は
$\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{t^{w-1}e^{at}}{1-e^{t}}dt =\frac{1}{\Gamma(1-w)}\zeta(w, a)$
だったので， $s=0$ の時
$\begin{align} \frac{1}{2} - a =& \frac{1}{\Gamma(1)}\zeta(0, a)\\ =& \zeta(0, a)\\ \end{align}$
よって
$\zeta(0,a) = \frac{1}{2} - a$
が得られる．

よって
$\begin{align} \zeta_{1\ w}\left(0,s,(\omega)\right) &= (-\log{\omega})\zeta\left(0,\frac{s}{\omega}\right) + \log{\Gamma\left(\frac{s}{\omega}\right)} - \log{\sqrt{2\pi}}\\ &= (-\log{\omega})\left(\frac{1}{2} - \frac{s}{\omega}\right) + \log{\Gamma\left(\frac{s}{\omega}\right)} - \log{\sqrt{2\pi}}\\ &= \log{\frac{\Gamma\left(\frac{s}{\omega}\right)}{\sqrt{2\pi}}\log{\omega}^{\frac{1}{2} - \frac{s}{\omega}}} \end{align}$
より最終的に
$\Gamma_1(s, (\omega)) = \frac{\Gamma\left(\frac{s}{\omega}\right)}{\sqrt{2\pi}}\omega^{\frac{1}{2} - \frac{s}{\omega}}$
が得られた．
===以上行間埋め箇所===

(1)の行間埋め

$n,\ a,\ b,\ c$ を自然数とし， $f(x) = \frac{(1-x^{-b})(1-x^{-c})}{1-x^{-n}} = \frac{1-x^{-b}-x^{-c}+x^{-b-c}}{1-x^{-n}}$ とする．

===以下行間埋め箇所（途中式）===
$Z_f(w,s) = \frac{1}{\Gamma(w)}\int_{1}^{\infty}f(x)s^{-s-1}\left(\log{x}\right)^{w-1}dx$
について
$\begin{align} Z_f(w,s) =& \frac{1}{\Gamma(w)}\int_{1}^{\infty}\frac{1-x^{-b}-x^{-c}+x^{-b-c}}{1-x^{-n}}x^{-s-1}\left(\log{x}\right)^{w-1}dx\\ =&\frac{1}{\Gamma(w)}\int_{1}^{\infty}\frac{1}{1-x^{-n}}x^{-s-1}\left(\log{x}\right)^{w-1}dx - \frac{1}{\Gamma(w)}\int_{1}^{\infty}\frac{1}{1-x^{-n}}x^{-s-b-1}\left(\log{x}\right)^{w-1}dx\\ -&\frac{1}{\Gamma(w)}\int_{1}^{\infty}\frac{1}{1-x^{-n}}x^{-s-c-1}\left(\log{x}\right)^{w-1}dx + \frac{1}{\Gamma(w)}\int_{1}^{\infty}\frac{1}{1-x^{-n}}x^{-s-b-c-1}\left(\log{x}\right)^{w-1}dx\\ =&\zeta_1\left(s,x,(n)\right) - \zeta_1\left(s+b,x,(n)\right) - \zeta_1\left(s+c,x,(n)\right) + \zeta_1\left(s+b+c,x,(n)\right) \end{align}$
より
$\begin{align} \exp\left(\frac{\partial}{\partial w}Z_f(w,s)\mid_{w=0}\right) =& \frac{\Gamma_1\left(s,(n)\right)\Gamma_1\left(s+b+c,(n)\right)}{\Gamma_1\left(s+b,(n)\right)\Gamma_1\left(s+c,(n)\right)}\\ =& \frac{\frac{\Gamma\left(\frac{s}{n}\right)}{\sqrt{2\pi}}\omega^{\frac{1}{2} - \frac{s}{n}}\frac{\Gamma\left(\frac{s+b+c}{n}\right)}{\sqrt{2\pi}}\omega^{\frac{1}{2} - \frac{s+b+c}{n}}}{\frac{\Gamma\left(\frac{s+b}{n}\right)}{\sqrt{2\pi}}\omega^{\frac{1}{2} - \frac{s+b}{n}}\frac{\Gamma\left(\frac{s+c}{n}\right)}{\sqrt{2\pi}}\omega^{\frac{1}{2} - \frac{s+c}{n}}}\\ =& \frac{\Gamma\left(\frac{s}{n}\right)\Gamma\left(\frac{s+b+c}{n}\right)}{\Gamma\left(\frac{s+b}{n}\right)\Gamma\left(\frac{s+c}{n}\right)} \end{align}$

===以上行間埋め箇所（途中式）===

(2)の行間埋め

===以下行間埋め箇所（途中式）===

前提

有利関数 $f(x)$ に対し $f\left(\frac{1}{x}\right) = f^*(x)$ とおく．
$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty}b_kx^k$ とすると $f^{*}(x) = \sum_{k=0}^{\infty}b_kx^{-k}$ と書くことができる．

この場合の
$Z_{f^*}(w,a) = \frac{1}{\Gamma(w)}\int_{1}^{\infty}f^{*}(t)t^{-a-1}\left(\log{t}\right)^{w-1}dt$
を計算する．
$\begin{align} \frac{\partial}{\partial w}Z_{f^*}(w,a) =& \left(\frac{d}{dw}\frac{1}{\Gamma(w)}\right)\int_{1}^{\infty}f^{*}(t)t^{-a-1}\left(\log{t}\right)^{w-1}dt\\ +& \frac{1}{\Gamma(w)}\left(\frac{\partial}{\partial w}\int_{1}^{\infty}f^{*}(t)t^{-a-1}\left(\log{t}\right)^{w-1}dt\right)\\ \end{align}$

第一項のガンマ関数の部分の考察

ここで第一項のガンマ関数は相反公式 $\Gamma(w)\Gamma(1-w) = \frac{\pi}{\sin(\pi w)}$ から
$\frac{d}{dw}\frac{1}{\Gamma(w)} = \sin{(\pi w)}\Gamma(1-w) - \sin{(\pi w)}\Gamma'(1-w)$
$w=0$ の時， $\Gamma'(1) = \gamma$ なので
$\frac{d}{dw}\frac{1}{\Gamma(w)}\mid_{w=0} = 1$

第一項の積分の部分の考察

第一項の積分は，積分内部で $w=0$ とすると，通常は $t=1$ 周辺について $\frac{1}{\log{t}}$ を原因として発散する．
ここで $f(1) = 0$ という条件を課すことにより， $\frac{t-1}{\log{t}}\to 1$ と発散の原因が解消され， $w=0$ にしてもこの積分は収束する．

第二項の考察

$\frac{1}{\Gamma(0)} = 0$ である．

得られる結果

よって $f(1) = 0$ の場合
$\begin{align} \frac{\partial}{\partial w}Z_{f^*}(w,a)\mid_{w=0} =& \frac{\partial}{\partial w}\left(\frac{1}{\Gamma(w)}\int_{1}^{\infty}f^{*}(t)t^{-a-1}\left(\log{t}\right)^{w-1}dt\mid_{w=0}\right)\\ =& \int_1^{\infty}f^*(t)x^{-a-1}\frac{1}{\log{t}}dt \end{align}$
であり，
$\begin{align} \int_{0}^{1}f(t)t^{a-1}\left(\log{t}\right)^{-1}dt =& \int_{\infty}^{1}f\left(\frac{1}{u}\right)u^{-a+1}\left(-\log{u}\right)^{-1}\left(-u^{-2}\right)du\\ =& -\int^{\infty}_{1}f^{*}(u)u^{-a-1}\left(\log{u}\right)^{-1}du\\ =& -\left(\frac{\partial}{\partial w}Z_{f^*}(w,a)\mid_{w=0}\right) \end{align}$
という関係式が得られる．

===以上行間埋め箇所（途中式）===

$g(x) = \frac{(1-x^{b})(1-x^{c})}{1-x^{n}}$ とする．
この場合 $g(x)$ は有理関数．
また
$g^{*}(x) = g\left(\frac{1}{x}\right) = f(x)$
$g(1) = 0$
$g^{*}(1)\ \left( = f(1)\right) = 0$
でもある．

以上を前提とし
$\int_{0}^{1}\frac{x^{a-1}(1-x^b)(1-x^c)}{(1-x^n)\log{x}}dx$
を計算する．
この積分は
$\int_{0}^{1}\frac{g(x)}{\log{x}}x^{a-1}dx$
と書き直すことができ，
$\begin{align} \int_{0}^{1}g(t)t^{a-1}\left(\log{t}\right)^{-1}dt =& -\left(\frac{\partial}{\partial w}Z_{g^*}(w,a)\mid_{w=0}\right)\\ =& -\left(\frac{\partial}{\partial w}Z_f(w,s)\mid_{w=0}\right)\\ =& -\log{\left(\exp\left(\frac{\partial}{\partial w}Z_f(w,s)\mid_{w=0}\right)\right)}\\ \end{align}$

(3)

以上より
$\begin{align} \int_{0}^{1}\frac{x^{a-1}(1-x^b)(1-x^c)}{(1-x^n)\log{x}}dx =& \log{\frac{\Gamma\left(\frac{a+b}{n}\right)\Gamma\left(\frac{a+c}{n}\right)}{\Gamma\left(\frac{a}{n}\right)\Gamma\left(\frac{a+b+c}{n}\right)}}\\ \end{align}$

参考文献

オイラーのゼータ関数論