1=2についてのチラシ裏 - 音楽室と化学室と美術室とPC室の融合部屋　所謂自由室

皆さん $1=2$ のお話知っていますか

まぁおなじみの誤った計算によるおかしい結果のネタなんですけど，なんとなくどういう仕組なのか改めて見直してみたいなと思いました．

解のすり替えによる方法
周期関数の逆関数によるもの
- 概要
- 仕組み

解のすり替えによる方法

概要

$a = b$ とする
両辺に $a$ を乗じて
$a^2 = ab$
両辺に $-b^2$ を足して
$a^2 - b^2 = ab - b^2$
両辺を因数分解して
$(a+b)(a-b) = b(a-b)$
両辺から $a-b$ を除算すると
$(a+b) = b$
最初に $a=b$ と仮定していたので
$2a = a$
よって
$2=1$
が得られる．

というものです．懐かしいですね．

仕組み

簡単のために $x = a$ と置き換えましょう．
両辺に $x$ を乗じて
$x^2 = ax$
問題はここだと思っていて，この時点で解が2つできてしまうんですよね
その解は $x=a$ と $x=0$ の2つです．
つまり $x(x-a) = 0$ となっていますし，実際に移項すると確認できますね．

次にこの $x(x-a)=0$ から $x-a$ を除去し， $x=0$ を解とする式にしてやります．
正直この時点で「あれれー？ $1=0$ だぞー？」でもいいですが，そのままですとあまりにも露骨なので，因数分解という手順を踏むことで曖昧にしていきます．

両辺に $-a^2$ を足して
$x^2-a^2 = ax-a^2$
因数分解
$(x+a)(x-a) = a(x-a)$
そうして
$x+a = a$
つまり $x=0$ ・・・じゃなくて $2a = a$ で $2=1$ が出来上がりましたーﾊﾟﾁﾊﾟﾁﾊﾟﾁという内容ですね．

色々遊んでみたい

つまり，解の挿げ替えをうまいこと行うことができれば，任意の「 $A=B$ 」みたいな結論もたどり着くのでは？

実は $A+1 = A$ という1違いの式にするのは非常に簡単で（逆計算して考えました）
$x = a$ とする．
両辺に $(A-1)a$ を加算し
$x + (A-1)a = Aa$
両辺に $x$ を乗じる
$x^2 + (A-1)ax = Aax$
両辺から $Aa^2$ を引き
$x^2 + (A-1)ax - Aa^2 = Aax - Aa^2$
因数分解
$(x+Aa)(x-a) = Aa(x-a)$
こうして $x-a$ を割れば
$x+Aa = Aa$
なので， $x=a$ と仮定していたので
$A+1 = A$
になる．

つまり， $6=5$ に帰着させたいのであれば
$x=a$
両辺に $4a$ を加算し
$x+4a = 5a$
両辺に $x$ をかける
$x^2 + 4ax = 5ax$
両辺から $5a^2$ を引き
$x^2 + 4ax - 5a^2 = 5ax - 5a^2$
因数分解
$(x+5a)(x-a) = 5a(x-a)$
こうして
$x+5a = 5a$
により
$6 = 5$
になる．

周期関数の逆関数によるもの

概要

$-1=\frac{-1}{1} = \frac{1}{-1}$
根号をかけて
$\frac{\sqrt{-1}}{1} = \frac{1}{\sqrt{-1}}$
両辺に $\sqrt{-1}$ をかけて
$-1 = 1$

仕組み

極端な話， $(-1)^2 = 1^2$ なので平方根をとることで $-1 = 1$ と言ってるようなもの．
指数関数は複素関数では周期関数であるため
$e^{a + 2\pi i} = e^{a}$ となる．

つまり整数 $k$ に対し指数が $a + 2k\pi i$ であれば同一の値となるが，平方根などのような根号を用いることでこの同一の値を崩すことができる．

言ってしまえば
$\cos{(2\pi)} = \cos{0}$ で両辺内部を2で割り $\cos{\pi} = \cos{0}$ なので $-1 = 1$
というような内容．

これは $e^{\pi i}$ と $e^{3\pi i}$ について，実数で見るとどちらも $-1$ ですが，
$\frac{1}{2}$ 乗することにより $e^{\frac{\pi i}{2}}$ と $e^{\frac{3}{2}\pi i}$ となってしまうことが原因．
$e^{\frac{\pi i}{2}} = i$ ですが， $e^{\frac{3}{2}\pi i} = -i = \frac{1}{i}$ となるので，先程の計算と合ってますね．

極端な話をすると
$(-1)^2 = 1^2$
なので
$-1 = 1$
としているようなものです．

なんとなく思いついた2例について考えてみました．まる．