logの式変形のメモ - 音楽室と化学室と美術室とPC室の融合部屋　所謂自由室

$\log$ のテイラー展開
$\log(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n$
の収束半径は1だけど
$\log{N} = -\log{\frac{1}{N}} = -\log{\left(1-\frac{N-1}{N}\right)}$
とすると
$\log{N} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\left(\frac{N-1}{N}\right)^n$
が得られる．
つまり
$\log{2} = \left(\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^3 + \cdots$
$\log{3} = \left(\frac{2}{3}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^3 + \cdots$
のような式になる．
$\log{2} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$
と比較すると
$\log{2} = \left(\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^3 + \cdots$
のほうが引数が1未満なだけあって収束効率が良い．

次は
$\log{\frac{N+1}{N}}$
について考えてみる．
$\log{\frac{N+1}{N}} = \log{\left(1 + \frac{1}{N}\right)} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\left(\frac{1}{N}\right)^n$
と変形ができる．
$\log{\frac{2}{1}} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$
$\log{\frac{3}{2}} = \frac{1}{1}\left(\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^3 - \frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^4 + \cdots$
$\log{\frac{4}{3}} = \frac{1}{1}\left(\frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}\right)^3 - \frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}\right)^4 + \cdots$
...
$\log{\frac{M+1}{M}} = \frac{1}{1}\left(\frac{1}{M}\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{M}\right)^2 + \frac{1}{3}\left(\frac{1}{M}\right)^3 - \frac{1}{4}\left(\frac{1}{M}\right)^4 + \cdots$

全部足すと
$\log{(M+1)} = \sum_{n=1}^{M}\left(\frac{1}{n}\right) - \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{M}\left(\frac{1}{n}\right)^2 + \frac{1}{3}\sum_{n=1}^{M}\left(\frac{1}{n}\right)^3 - \frac{1}{4}\sum_{n=1}^{M}\left(\frac{1}{n}\right)^4 + \cdots$
になり
$\sum_{n=1}^{M}\left(\frac{1}{n}\right) - \log{(M+1)} = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{M}\left(\frac{1}{n}\right)^2 - \frac{1}{3}\sum_{n=1}^{M}\left(\frac{1}{n}\right)^3 + \frac{1}{4}\sum_{n=1}^{M}\left(\frac{1}{n}\right)^4 - \cdots$

この左辺を
$\sum_{n=1}^{M}\left(\frac{1}{n}\right) -\log{M} + \log{M} - \log{(M+1)} = \sum_{n=1}^{M}\left(\frac{1}{n}\right) -\log{M} + \log{\frac{M}{M+1}}$

のように少しいじってから $M\to\infty$ とすると
$\gamma = \frac{1}{2}\zeta(2) - \frac{1}{3}\zeta(3) + \frac{1}{4}\zeta(4) - \cdots$
つまり
$\gamma = \sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\zeta(n)$
が得られる．

$\gamma$ はオイラーの定数で
$\gamma = \lim_{N\to\infty}\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{N} - \log{N}\right)$
と表される．
この定数はガンマ関数やゼータ関数に対してワイエルシュトラスの因数分解を行う際に現れる．

このオイラーの定数もそのうちプログラムで計算してみたいなとは思ってます．