素数の逆数和のメモ - 音楽室と化学室と美術室とPC室の融合部屋　所謂自由室

素数の逆数の和
$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \cdots$
は発散する．

ゼータ関数のオイラー積
$\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} = \prod_{p}\left(1-p^{-s}\right)$
について対数をとって
$\log{\zeta(s)} = \log\left( \prod_{p}\left(1-p^{-s}\right)^{-1} \right)$
$= -\sum_{p}\log\left(1-p^{-s}\right)$

次に $|x|<1$ のときの $\log{(1-x)}$ のテイラー展開
$-\log{(1-x)} = \sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m}x^m$
を考えると
$\log{\zeta(s)} = \sum_{p}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m}p^{-sm}$
になる．
ゼータ関数は $s>1$ で絶対収束するので
$\log{\zeta(s)} = \sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m}\sum_{p}p^{-sm}$
とすることができて
$\log{\zeta(s)} = \sum_{p}p^{-s} + \sum_{m=2}^{\infty}\frac{1}{m}\sum_{p}p^{-sm}$
と総和の分割をし
$\log{\zeta(s)} - \sum_{m=2}^{\infty}\frac{1}{m}\sum_{p}p^{-sm} = \sum_{p}p^{-s}$
とする．

次に左辺の
$\sum_{m=2}^{\infty}\frac{1}{m}\sum_{p}p^{-sm}$
がどのような値になるかを考える．

絶対収束の仮定より $s>1$ で考えてたので
$\sum_{m=2}^{\infty}\frac{1}{m}\sum_{p}p^{-sm} < \sum_{m=2}^{\infty}\frac{1}{m}\sum_{p}p^{-m} < \sum_{m=2}^{\infty}\sum_{p}p^{-m} = \sum_{p}\sum_{m=2}^{\infty}p^{-m}$
ここで
$\sum_{p}\sum_{m=2}^{\infty}p^{-m} = \sum_{p}p^{-2}\sum_{m=0}^{\infty}p^{-m} = \sum_{p}\frac{p^{-2}}{1-p^{-1}} = \sum_{p}\frac{1}{p(p-1)}$
$\sum_{m=2}^{\infty}\frac{1}{m}\sum_{p}p^{-sm} < \sum_{p}\frac{1}{p(p-1)} < \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(n-1)} = 1$
なので
$\sum_{m=2}^{\infty}\frac{1}{m}\sum_{p}p^{-sm} < 1$
になる．
$\log{\zeta(s)} - \sum_{m=2}^{\infty}\frac{1}{m}\sum_{p}p^{-sm} = \sum_{p}p^{-s}$
と比較すると
$\log{\zeta(s)} - 1 < \sum_{p}p^{-s} < \log{\zeta(s)}$