最近の気づきと失敗の話 - 音楽室と化学室と美術室とPC室の融合部屋　所謂自由室

なんとなく最近の出来事と，新しいおもちゃを手に入れた失敗談．

数学ガールのフェルマーの最終定理編を読んでて，モジュラー形式の話で
$\Phi\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = (cz+d)^k\Phi\left(z\right)$
の式が登場した．

ここらへんは昔はなんとなくゼータ関数について調べてたので，テータ関数
$\vartheta(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\pi n^2x}$
の函数等式
$\vartheta\left(x\right) = \frac{1}{\sqrt{x}}\vartheta\left(\frac{1}{x}\right)$
は一応知ってたので，なんとなくですが

ある点 $P_n$ に対してそれに関連づく $P_{n+1}$ が計算できて，その点から更に関連づく点 $P_{n+2}$ が計算できて・・・
というように1つの点から関連づく点が存在する

というように読みました．

ただその個数ですが，例えば正規化ゼータ関数ですと

$\hat{\zeta}(s) = \hat{\zeta}(1-s)$

というように $s \Longleftrightarrow 1-s$ のような変換で有限しかない場合もあるんだなという感じに思いました．
ただそこに関してはまだ自分の中の想像というだけで，ちゃんと把握しきれていないと思うので，もっと勉強したいな・・・

ただ数学ガールで気になったところはその後で，
$a=1$ ， $b=1$ ， $c=0$ ， $d=1$ と置いた時に $\Phi(z+1) = \Phi\left(z\right)$ に対応して，行列で
$\begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{pmatrix}$
という記述があった．なんで唐突に行列が出てきたんだっけって思って調べてみたら，一次分数変換というものがあるらしい．

例えば $z$ を $\frac{az+b}{cz+d}$ に代入するともちろん $\frac{az+b}{cz+d}$ になる．
じゃぁこの $\frac{az+b}{cz+d}$ を $\frac{ez+f}{gz+h}$ に代入すると・・・？

というと，実際計算してみたらわかるが $\frac{(ae+cf)z+(be+df)}{(ag+ch)z+(bg+dh)}$ という結果になる．

これと行列がどういう関係になっているかというと
$\begin{pmatrix} e&f\\ g&h \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae+cf&be+fd\\ ag+ch&bg+dh \end{pmatrix}$
に対応付けられる．

つまり変換していくたびに対応する行列を左からかけてやればこの変換に対応する行列が計算できるというお話．

この性質は面白いなと思い，友人に投げる問題の方針を決定（鬼）

とりあえずは自分も今は深くは踏み込めなさそうな内容なので，『何度も変換を行い続けた結果，値はどうなる？』という内容に決定．
行列は色々計算した結果，ネイピア数の最初の4桁，2,7,1,8を使用しようと決めた．

色々検算した結果以下のような問題ができた．

$g(x) = \frac{2x + 7}{x+8}$ としたとき
$f_1(x) = g(x)$
$f_2(x) = g(g(x))$
$\cdots$
$f_n(x) = g(g(\cdots g(x)\cdots))$
のように $g$ を $n$ 個入れ子にしたものを $f_n(x)$ と記す．
$f_n(x)$ を $x$ と $n$ で表わせ．
ただし $f_0(x) =x$ とする．