a(n+1) = pa(n) + qの漸化式について - 音楽室と化学室と美術室とPC室の融合部屋　所謂自由室

前回はフィボナッチ数列の漸化式について考えた．
aryuaryuaryuryu.hatenablog.com

今回は
$a_{n+1} = pa_n + q$
の形の漸化式について考えてみる．

追記：応用の欄を大幅に変更しました．

高校数学での解き方
重ね合わせの原理を用いた解き方

高校数学での解き方

$a_{n+1} = pa_n + q$
の形の漸化式について，
$a_{n+1} - \alpha = p(a_n - \alpha)$
という形に変形する．
これは公比が $p$ の等比数列なので
$a_{n} = p^{n-1}(a_1 - \alpha) + \alpha$
になる．

元の形に戻すと
$a_{n+1} = p a_n + (1-p)\alpha$
$a_{n+1} = pa_n + q$
なので，
$\alpha = \frac{q}{1-p}$
が得られ，
$a_{n} = p^{n-1}(a_1 - \alpha) + \alpha$
に代入すると一般項が得られる．

重ね合わせの原理を用いた解き方

重ね合わせの原理２

数列 $g_n,h_n$ と定数 $p$ を用いた2つの漸化式
$a_{n+1} = pa_n + g_n$
$a_{n+1} = pa_n + h_n$
を満たす一般解について，前者の1つの解を $b_n$ ，後者の1つの解を $c_n$ とする．
$d_n = b_n + c_n$ 自体は
$a_{n+1} = pa_n + g_n + h_n$
の解になる．
実際 $b_n + c_n$ を代入すると
$a_{n+1} = p(b_n + c_n) + g_n + h_n$
$a_{n+1} = pb_n + pc_n + g_n + h_n$
$a_{n+1} = (pb_n + g_n) + (pc_n + h_n)$
$a_{n+1} = b_{n+1} + c_{n+1}$
になる．

ここでポイントなのは
$a_{n+1} = pa_n + g_n$
$a_{n+1} = pa_n + h_n$
について， $g_n,h_n$ を足し合わせた $g_n + h_n$ が新たな数列として足されて構成されている
$a_{n+1} = pa_n + g_n + h_n$
ことである．

方針

ここで $g_n = q$ ， $h_n = 0$ とすると
$a_{n+1} = pa_n + q$
$a_{n+1} = pa_n$
の式になる．
前者の解を考えるなら，数列が定数になるほうが求めやすいし扱いやすいので $a_n = A$ と置いたものを代入したもの
$A = pA + q$
を解くと
$b_n = \frac{q}{1-p}$
が得られる．

後者はもう明らかに
$c_n = \alpha p^{n-1}$
なので， $b_n$ と $c_n$ を足し合わせた
$a_n = \alpha p^{n-1} + \frac{q}{1-p}$
が
$a_{n+1} = pa_n + q$
の解になるので，あとは $a_1$ に合わせて $\alpha$ の値を調整すればよい．

実際の計算

例えば
$a_{n+1} = 3a_n +4$
$a_1 = 1$
の一般項を求める際
$a_{n+1} = 3a_n +4$
$a_{n+1} = 3a_n$
と分けて
$A = 3A + 4$ より $b_n = -2$
$c_n = \alpha 3^{n-1}$
になるので $a_n = \alpha 3^{n-1} - 2$
ここで $a_1 = 1$ と設定していたので
$a_1 = \alpha - 2 = 1$
$\therefore \alpha = 3$

こうして
$a_{n+1} = 3a_n +4$
$a_1 = 1$
の解
$a_n = 3^{n} - 2$
が得られる．

他の問題への流用

他の問題として
$a_{n+1} = 3a_n +4^n$
$a_1 = 1$
の一般項を求めてみる．
これも $g_n = 4^n$ ， $h_n = 0$ とすると
$a_{n+1} = 3a_n +4^n$
$a_{n+1} = 3a_n$
と分けられる．
前者を簡単に解くには $a_n = B4^{n-1}$ と置いてみると
$4^{n}B = 3\cdot 4^{n-1} B +4^n$
から
$4B = 3B + 4$
これで $B=4$ が得られるので，前者の1つの解
$b_n = 4^n$
が得られる．

一方
$a_{n+1} = 3a_n$
の解は
$c_n = \alpha 3^{n-1}$
なので， $b_n , c_n$ を重ね合わせた
$a_n = \alpha 3^{n-1} + 4^n$
が解になり， $a_1 = 1$ より $\alpha = -3$ なので
$a_n = 4^n - 3^n$
が得られる．