モジュラと保型関数についての簡単なメモ - 音楽室と化学室と美術室とPC室の融合部屋　所謂自由室

個人的にわりかし謎だったモジュラと保型形式について調べました．

簡単なまとめ
前提
行列と分数変換
SL2の生成元
基本領域
モジュラ関数
参考文献

簡単なまとめ

2つの一次分数変換 $f(z) = \frac{az+b}{cz+d}$ と $g(z) = \frac{\alpha z + \beta}{\gamma z + \delta}$ の合成
$g(f(z))\frac{\alpha\frac{az+b}{cz+d} + \beta}{\gamma\frac{az+b}{cz+d} + \delta} = \frac{(a\alpha + c\beta)z +(b\alpha + d\beta)}{(a\gamma + c\delta)z + (b\gamma + d\delta)}$
と
2つの行列 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \\ \end{pmatrix}$ の積
$\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\alpha + c\beta & b\alpha + d\beta \\ a\gamma + c\delta & b\gamma + d\delta \\ \end{pmatrix}$
は対応している．
要素が整数で行列式が1（つまり逆行列を持つ）の行列の集合を $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ と表記することにする．
適当な $g\in\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ は $S=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ と $T=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$ の2つを組み合わせた積で表現できることがわかっている．
つまり $h(z)=\frac{az + b}{cz+d}$ も $T(z) = z+1$ と $S(z) = -\frac{1}{z}$ の組み合わせた合成で表現ができる．
これは行列が群（アーベル群ではない）になっているので，この一次分数変換の合成も群になる．
この群をモジュラー群という．

この変換を使えば最低限の領域で上半平面全体を表現できる．この最低限の領域を基本領域と言い，
$\mathbb{H}$ 上 $-\frac{1}{2}\leq\Re{z}\leq 0, |z|\geq1$ もしくは $0<\Re{z}\leq \frac{1}{2}, |z|>1$
の領域になる．
境界全体を基本領域とするか，しないかは書籍による．
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それはそれとして $f\left(z+1\right) = f(z)$ と $f\left(-\frac{1}{z}\right) = z^kf(z)$ で表現ができるなら
$\left(d\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)\right)^kf\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = (dz)^kf(z)$
という変換に対応するので
$f\left(z+1\right) = f(z)$ と $f\left(-\frac{1}{z}\right) = z^kf(z)$ の組み合わせで $f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = (cz+d)^kf(z)$ に変換ができる．
これを重さ（ウェイトとも言う） $k$ の保型形式というらしい．

前提

集合 $\mathbb{K}$ を要素とするn×n正方行列を $M_n(\mathbb{K})$ とする．
（例えば実数を要素とするn×n正方行列は $M_n(\mathbb{R})$ という表記になる．）
群の積は単位元 $I$ が存在し，結合法則も成り立つが，逆元の存在は保証されない．
そこで $\mathrm{GL}_n(\mathbb{K}) = \{ g \in M_n(\mathbb{K}) | \det{g} \neq 0\}$ と限定すると， $\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ は逆元を持つことが保証され群になる．
これを一般線型群という．
今回は2×2正方行列の一般線形群の中の部分群
$\mathrm{SL}_n(\mathbb{K}) = \{\gamma \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K}) | \det \gamma = 1\}$
（特殊線型群）について考える．
また，今回は $A$ と $-A$ は同じものとして考える．

行列と分数変換

ここで $A$ と $-A$ を同じものとして考える理由についても軽く説明する．

$z\longmapsto \frac{az + b}{cz+d}$ という変換は，例えば
$z\longmapsto \frac{az + b}{cz + d}$ の変換を $z\longmapsto \frac{ez + f}{gz + h}$ で変換を行うと
$z\longmapsto \frac{(ae + cf)z + (be + df)}{(ag + ch)z + (bg + dh)}$
になり，これは
$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae+cf & be+df \\ ag+ch & bg+dh \\ \end{pmatrix}$
のように行列での積に対応する．
ここで $\frac{az + b}{cz + d} = \frac{-az - b}{-cz - d}$ であり， $A$ と $-A$ を同一視することの合理性がわかる．
記述の簡単化のために $\gamma = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}$ と置いた時 $\gamma z = \frac{az + b}{cz + d}$ と表現する場合もある．

ちなみにここで $ad-bc=1$ という制限を設けることにより，既約分数という条件が加わる．
以上の議論により，一次分数変換の合成を積と定義すると単位元と逆元，結合則を持つので群と考えることができる．
この群をモジュラー群という．

SL2の生成元

$\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ の要素は $S = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$ と $T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ の2つの構成で生成される．

つまりどんな $ad-bc = 1$ となる $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}$ も $S$ と $T$ の積で生成される．

例えば $T^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} = STSTS$ で生成される．

この生成元についての証明はユークリッドの互除法を用いて示すことができるらしい．
lupus.is.kochi-u.ac.jp

基本領域

以降説明の簡単化のために $g=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}\in\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ を用いた変換 $z_2 = \frac{az_1+b}{cz_1+d}$ が存在するとき，同値という．
言ってしまえば $z\longmapsto -\frac{1}{z}$ と $z\longmapsto z+1$ のみで変換を繰り返すことで $z_1$ から $z_2$ に到達することが可能なことを同値ということになる．
ここで新たに基本領域というものを定義する．
基本領域は上半平面 $\mathbb{H}$ と同値関係であり，基本領域内部の2点は同値関係ではない領域と定義する．
この基本領域は $\mathbb{H}$ 上 $-\frac{1}{2}\leq\Re{z}\leq 0, |z|\geq1$ もしくは $0<\Re{z}\leq \frac{1}{2}, |z|>1$ という領域になる．
（基本的には基本領域の2点が同値でないという条件は領域内部とし，境界線上の2点は同値関係であることを考慮しない場合が多い．しかし今回はこの領域で説明を行う）
この記事では基本領域を $\mathcal{F}$ と表現する．
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つまり，上半平面 $\mathbb{H}$ 上の点 $z_0$ について， $z\longmapsto -\frac{1}{z}$ と $z\longmapsto z+1$ の変換を繰り返し行うと，対応する点が基本領域内に1点存在する．
更に言えば上記の $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ の生成元の話と合わせると， $\mathbb{H}$ 上の点 $z_0$ に対応する点 $z_1$ が基本領域内のどこかの点に存在し， $z\longmapsto \frac{az + b}{cz_+d}$ という変換が存在する．
つまり $z_0\in\mathbb{H}$ に対し適切な $z_1\in \mathcal{F}$ と $\gamma \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ が存在し， $z_0 = \frac{az_1 + b}{cz_1 + d}$ になる．

tsujimotterさんが基本領域ゲームを作っていてわりかし理解の助けになったのでおすすめ
tsujimotter.hatenablog.com

これを示すには

上半平面から $\mathcal{F}$ 上の点への変換が存在する
$\mathcal{F}$ 内の2点 $z_0,\ z_1$ が変換によって同じ点にならない

の2つを示す必要がある．

上半平面から基本領域上の点への変換が存在すること

最初に $\mathbb{H}$ 上の点 $z$ を，横方向に平行移動する $T$ と $T^{-1} = STSTS$ を用いて $-\frac{1}{2}\leq \Re{z} < \frac{1}{2}$ に移動させる

|z|>1の場合

基本領域上の点へ変換することができている．

|z|≦1の場合，

前提として， $\Im{\frac{az + b}{cz + d}} = \frac{\Im{z}}{|cz + d|^2}$ である．
この分母の $|cz + d|^2$ に焦点をあてて考えるが，単位円内部に $1$ と $z$ を単位とする格子が存在し， $|cz + d|^2$ が最小値となる $c$ と $d$ の組み合わせが存在する．
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つまり $\Im{\gamma z} = \frac{\Im{z}}{|cz + d|^2}$ には最大値が存在し，この最大値は $T$ と $T^{-1}$ で変換すると基本領域内部の点になる．
仮に基本領域内部の点にならない場合， $\gamma z$ に平行移動を何度か行っているため $|T^{k}\gamma z|<1$ であり，
$\Im \left(-\frac{1}{T^k\gamma z}\right) = \frac{\Im z}{|\gamma z|^2} > \Im \gamma z$
になり，更に最大値を見つけることができたので不適となる．

基本領域に変換で対応し合う2点が存在しないこと

基本領域内の2点 $z_1$ と $z_2$ が同値関係であるとし， $\Im{z_2}\geq\Im{z_1}$ とする．大小関係が異なれば $z_1$ と $z_2$ の入れ替えを行い，変換を逆元としても問題ない．
すると
$\Im{z_2} = \frac{\Im{z_1}}{|cz_1 + d|^2} \geq \Im{z_1}$
という対応関係が存在し， $|cz_1 + d|\leq 1$ という条件が得られる．
この時 $|cz_1 + d| = |(c\Re{z_1} + d) + c\Im{z_1}|\geq |c|\Im{z_1}$ であり，更に基本領域内の虚部が最小となる点を考え $|c|\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\leq |c|\Im{z_1}$ になる．
まとめると
$|c|\frac{\sqrt{3}}{2}\leq |c|\Im{z_1} \leq |(c\Re{z_1} + d) + ic\Im{z_1}| = |cz_1 + d| \leq 1$
になり， $|c|\leq 1$ という条件が得られ， $z_1$ は基本領域内部なので $|\Re{z_1}|\leq\frac{1}{2}$ に注意すると
$|c\Re{z_1} + d| \leq |(c\Re{z_1} + d) + ic\Im{z_1}| = |cz_1 + d| \leq 1$
であり， $d\in\mathbb{Z}$ に注意をすると $|d|\leq 1$ という条件も得られる．
ここでいくらか場合分けを考える必要がある．

c=0，d=±1の場合

$g = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & \pm 1 \\ \end{pmatrix}$
の場合， $\det{g} = 1$ に注意をすると $a = \pm 1$ ， $b = something$ なので $g = \begin{pmatrix} \pm 1 & b \\ 0 & \pm 1 \\ \end{pmatrix}$ であり， $gz = z \pm b$ という平行移動になる．
この場合基本領域内部の2点の変換は $z\longmapsto z$ に限られる．
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c=±1，d=±1の場合

この場合は $|cz_1 + d| = |z_1 + d|\leq 1$ より， $d=0,\ |z_1| = 1$
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もしくは
$c=\pm 1$ のとき $d=\pm 1,\ z_1 = \frac{-1+ i\sqrt{3}}{2}$ か
$c=\pm 1$ のとき $d=\mp 1,\ z_1 = \frac{1+ i\sqrt{3}}{2}$ になる．
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固定群

これまでの議論により，「変換してもその点から動かない点」がいくつかあることがわかる．

$z=i$ ， $-\frac{1}{z}$ のとき， $i\longmapsto i$ になる．
$z=\frac{-1+ i\sqrt{3}}{2}$ ， $-\frac{1}{z+1}$ のとき， $\frac{-1+ i\sqrt{3}}{2}\longmapsto \frac{-1+ i\sqrt{3}}{2}$ になる．
$z=\frac{1+ i\sqrt{3}}{2}$ ， $1-\frac{1}{z}$ のとき， $\frac{1+ i\sqrt{3}}{2}\longmapsto \frac{1+ i\sqrt{3}}{2}$ になる．

つまり， $S,T$ を用いて

$z=i$ の固定群は $\{S,\ I\}$
$z=\frac{-1+ i\sqrt{3}}{2}$ の固定群は $\{ST,\ STST,\ I\}$
$z=\frac{1+ i\sqrt{3}}{2}$ の固定群は $\{TS,\ TSTS,\ I\}$

になる．

モジュラ関数

今度は
$\left(\frac{d\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)}{dz}\right)^kf\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = f(z)$
を満たす関数 $f$ について考える．
コレ自体は
$\left(d\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)\right)^kf\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = (dz)^kf(z)$
の変換を行うことにより $z$ と $\frac{az+b}{cz+d}$ の関係性が確認できる．

ここで $ad - bc = 1$ に注意すると $\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)' = \frac{1}{(cz + d)^2}$ なので
$f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = (cz+d)^{2k}f(z)$
という関係が得られることがわかる．

逆に
$f(z+1) = f(z),\ f\left(-\frac{1}{z}\right) = z^k f(z)$
を満たす場合について考える．
この2つは
$T:\ f(z+1) = f(z)$
$S:\ f\left(-\frac{1}{z}\right) = z^k f(z)$
に対応しており，これまでの議論により $S,T$ から任意の $\gamma\in\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ を生成できるので，関数の合成を繰り返すことで
$f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)$ の生成を実現でき，
$f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = (cz+d)^{k}f(z)$
への変換が存在することがわかる．