飛び飛びのテイラー展開についてのメモ - 音楽室と化学室と美術室とPC室の融合部屋　所謂自由室

結論
$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$
$\omega = e^{\frac{2\pi i}{q}}$
とするとき
$\sum_{n=0}^{\infty}a_{p+qn}x^{p+qn} = \frac{1}{q}\sum_{n=0}^{q-1}\omega^{-np}f(\omega^{n}x)$

確認

$\begin{align*} \frac{1}{q}\sum_{n=0}^{q-1}\omega^{-np}f(\omega^{n}x) =& \frac{1}{q}\sum_{n=0}^{q-1}\omega^{-np}\left(\sum_{m=0}^{\infty}a_mx^m\omega^{nm}\right)\\ =& \frac{1}{q}\sum_{n=0}^{q-1}\sum_{m=0}^{\infty}a_mx^m\omega^{n(m-p)}\\ =& \sum_{m=0}^{\infty}a_mx^m \left(\frac{1}{q}\sum_{n=0}^{q-1}\omega^{n(m-p)}\right)\\ \end{align*}$
ここで $m-p$ が $q$ の倍数でない場合は
$\frac{1}{q}\sum_{n=0}^{q-1}\omega^{n(m-p)} = 0$
であり， $m-p$ が $q$ の倍数の場合は
$\frac{1}{q}\sum_{n=0}^{q-1}\omega^{n(m-p)} = 1$
になる．

つまり右辺の総和は $m\equiv p \pmod{q}$ となる $m$ にわたる総和となるため
$\begin{align*} \frac{1}{q}\sum_{n=0}^{q-1}\omega^{-np}f(\omega^{n}x) =& \sum_{n=0}^{\infty}a_{p+qn}x^{p+qn} \end{align*}$
となる