円周率の無理性について - 音楽室と化学室と美術室とPC室の融合部屋　所謂自由室

こんにちは，ありゅです．
もうそろそろ画像作成して1年くらいになるんじゃないかなと思うので，円周率の無理性についてまとめます．

私が初めて読んだ円周率の無理性の証明についてですが，『数学のかんどころ22　円周率　歴史と数理』
www.amazon.co.jp
という書籍で
"Recurrent Proofs of the Irrationality of Certain Trigonometric Values"Li Zhou and Lubomir Markov
という論文を元に説明してあったものでした．

追記：不等号の向きが逆になっている箇所があったため修正．脱字を修正．

証明の概要
tan(m/n)の無理性について
- 概要
- 証明

証明の概要

今回の論文の円周率の無理性についての証明の方針ですが，もちろん背理法を使います．

背理法を使うと

円周率を有理数と仮定する
円周率が有理数である場合，おかしなことが発生する．
つまり円周率が有理数であることがおかしい

といった流れになります．
ここで問題となるのが2の『円周率が有理数である場合，おかしなことが発生する．』ですが，

$\theta \neq 0$ が有理数である場合 $tan\theta$ は無理数になる

という性質を利用しています．
そうすると
$\tan{\frac{\pi}{4}} = 1$
であるため， $\pi$ が有理数であるのに $\tan\theta$ が有理数になっているという仮定に反する結果となります．
さて，ここで更に問題となるのが『 $\theta$ が有理数である場合 $tan\theta$ は無理数になる』についてです．
これより以下はこの仮定を示すまでです．

tan(m/n)の無理性について

概要

$r$ が有理数のとき
$\tan{r}$
が無理数になるということを示すには背理法を使います．
目標としては整数係数の多項式 $v(r)$ と $u(r)$ と $\sin{r}$ ， $\cos{r}$ を組み合わせた等式を作ります．
式変形を行って $\tan{r}$ を整数係数の多項式と結び，おかしくなることを導きます．

証明

まず $n\geq 0$ のとき
$f_n(x) = \frac{x^n(2r-x)^n}{n!}$
について考えます．いきなりこんな式が出てくるなんてかなり意味不明ですね．
この式はもちろん定義上 $f_n(0) = f_n(2r) = 0$ になります．
これは後々出てくる積分と組み合わせて考えるので，部分積分のために2階微分まで考えます．
$\begin{split} f_n'(x) &= \frac{1}{n!}(nx^{n-1}(2r-x)^n - nx^n(2r-x)^{n-1})\\ &= \frac{x^{n-1}(2r-x)^{n-1}}{(n-1)!}( (2r-x) - x)\\ &= (2r - 2x)f_{n-1}(x) \end{split}$
が一階微分，二階微分は
$\begin{split} f_n' '(x) &= (2r - 2x)'f_{n-1}(x) + (2r-2x)f'_{n-1}(x)\\ &= -2f_{n-1}(x) + (2r-2x)^2f_{n-2}(x))\\ &= -2f_{n-1}(x) + (4r^2-8rx+4x^2)f_{n-2}(x)\\ &= -2f_{n-1}(x) -4x (2r-x)f_{n-2}(x) + 4r^2f_{n-2}(x)\\ &= 4r^2f_{n-2}(x) -4x (2r-x)f_{n-2}(x) -2f_{n-1}(x)\\ &= 4r^2f_{n-2}(x) -4x (2r-x)\frac{x^{n-2}(2r-x)^{n-2}}{(n-2)!} -2f_{n-1}(x)\\ &= 4r^2f_{n-2}(x) -4(n-1)\frac{x^{n-1}(2r-x)^{n-1}}{(n-1)!} -2f_{n-1}(x)\\ &= 4r^2f_{n-2}(x) -(4n-4)f_{n-1}(x) -2f_{n-1}(x)\\ &= 4r^2f_{n-2}(x) -(4n-2)f_{n-1}(x) \end{split}$
になりますね．

次に
$I_n = \int_0^{2r}f_n(x)\sin{x}dx$
となる積分を考えます．
最初の $n = 0$ と $n=1$ の場合を計算しておくと，
$\begin{split} I_0 &= \int_0^{2r}\sin{x}dx\\ &= [-\cos(x)]_0^{2r}\\ &= 1 - \cos{(2r)} \end{split}$
と
$\begin{split} I_1 &= \int_0^{2r}f_1(x)\sin{x}dx\\ &= \int_0^{2r}f_1(x)(-\cos{x})'dx\\ &= -[f_1(x)\cos{x}]_0^{2r}+\int_0^{2r}f_1'(x)\cos{x}dx\\ &= \int_0^{2r}(2r-2x)\cos{x}dx\\ &= 2r\int_0^{2r}\cos{x}dx - 2\int_0^{2r}x\cos{x}dx\\ &= 2r[\sin{x}]_0^{2r} - 2\int_0^{2r}x(\sin{x})'dx\\ &= 2r\sin{(2r)} - 2[x\sin{x}]_0^{2r} + 2\int_0^{2r}\sin{x}dx\\ &= 2r\sin{(2r)} - 4r\sin{(2r)} - 2\cos{(2r)} + 2\\ &= 2(1-\cos{(2r)}) - 2r\sin{(2r)} \end{split}$
が得られます．
この $I_n$ は部分積分をすると
$\begin{split} I_n&=\int_0^{2r}f_n(x)(-\cos{x})'dx\\ &=-[f_n(x)\cos{x}]_0^{2r} + \int_0^{2r} f_{n}'(x)\cos{x}dx\\ &=\int_0^{2r} f_{n}'(x)\cos{x}dx \end{split}$
になり，これから更に部分積分を行い
$\begin{split} I_n&=\int_0^{2r} f_{n}'(x)(\sin{x})'dx\\ &=[f_n''(x)\sin(x)]_0^{2r} - \int_0^{2r} f_{n}''(x)\cos{x}dx\\ &=- \int_0^{2r} f_{n}''(x)\cos{x}dx\\ &=- \int_0^{2r}(4r^2f_{n-2}(x) -(4n-2)f_{n-1}(x))\cos{x}dx\\ &=- \int_0^{2r}4r^2f_{n-2}(x)\cos{x}dx + \int_0^{2r}(4n-2)f_{n-1}(x)\cos{x}dx\\ &= (4n-2)I_{n-1}-4r^2I_{n-2} \end{split}$
と漸化式が得られます．
ここで重要なのは， $I_{n-1}$ と $I_{n-2}$ 両方 $0$ にならないと永久に $0$ が続くということはないということ．

$I_0$ は $(1-\cos{2r})$ であり， $I_1$ は $r$ の1次式に $(1-\cos{2r})$ と $\sin{2r}$ が混じっている．
また
$I_n= (4n-2)I_{n-1}-4r^2I_{n-2}$
は2つ前の式に $r^2$ を乗じたものを足しており，1つ前の式には $r$ は乗じていない．
つまり，2つの $n$ 次式 $v_n(r)$ と $u_n(r)$ を用いて
$I_n = v_n(r)(1-\cos{(2r)}) + u_n(r)\sin{(2r)}$
と表現ができることがわかります．

更に両辺を $\sin{(2r)}$ で割ると
$\frac{I_n}{\sin{(2r)}} = v_n(r)\frac{1-\cos{(2r)}}{\sin{(2r)}} + u_n(r)$
から
$\frac{1-\cos{(2r)}}{\sin{(2r)}} = \frac{2\sin^2{(r)}}{2\sin{r}\cos{r}} = \frac{\sin{r}}{\cos{r}} = \tan{r}$
なので
$\frac{I_n}{\sin{(2r)}} = v_n(r)\tan{r} + u_n(r)$
と変形ができますね．

ここで $r$ が有理数であり， $\tan{r}$ も有理数である場合という仮定をようやく使う．
つまり $r = \frac{b}{a}$ ， $\tan{r} = \frac{d}{c}$ と置換する．
ここで両辺に $ca^n$ を乗じると
$\frac{ca^n I_n}{\sin{(2r)}} = ca^nv_n(r)\tan{r} + ca^nu_n(r)$
になり，この場合右辺は整数になるので左辺も整数になり，これはどの $n$ についても成立することになります．

ここで左辺について考えてみると， $0$ から $2r$ までの間の $x(2r-x)$ の最大値 $M$ を用いて
$\begin{split} \left|\frac{ca^n I_n}{\sin{(2r)}}\right| &\leq \left|\frac{ca^n}{\sin{(2r)}}\right| \cdot \left|I_n\right|\\ &= \left|\frac{ca^n}{\sin{(2r)}}\right| \cdot \left|\int_0^{2r}f_n(x)\sin{x}dx\right|\\ &\leq \left|\frac{ca^n}{\sin{(2r)}}\right| \cdot \left|2r \frac{M^n}{n!}\right|\\ &= \left|\frac{2rc}{\sin{(2r)}}\right| \cdot \left|\frac{(aM)^n}{n!}\right| \end{split}$
となり，右辺は $n\to \infty$ のとき $\left|\frac{2rc}{\sin{(2r)}}\right| \cdot \left|\frac{(aM)^n}{n!}\right| \to 0$ となります．