音楽室と化学室と美術室とPC室の融合部屋　所謂自由室

趣味と気分で適当に色々やります．なんかあるとたまに更新します．

「無限大の階乗」という話の備忘録

数学勉強

そういえば前に「 $\infty ! = \sqrt{2\pi}$ 」といった式があったなーと思って軽く調べた．

ゼータの解析接続絡みのようで，やっぱ皆ゼータ関数好きなんやな

とりあえず予め書いておくと「 $\zeta(-1) = -\frac{1}{12}$ 」だから「 $1+2+3+4+\cdots = -\frac{1}{12}$ 」みたいな表現の仕方をしているようなもので，例えば等比級数について「 $1+x+x^2+x^3+\cdots = \frac{1}{1-x}$ 」だから「 $1+2+4+8+\cdots = -1$ 」と表記しているようなものと思ってほしい．

『解析接続前の式に代入した』ということを表現するために「 $"1+2+3+4+\cdots" = -\frac{1}{12}$ 」と表記している文献もあるので今回はそういう表現も使うと思う．

ゼータ関数

$\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}$

$\zeta'(s) = \sum_{n=1}^{\infty}-\log{n}\cdot n^{-s}$

を $\exp$ にぶち込むと

$\exp{(\zeta'(s))} = \exp{(-\sum_{n=1}^{\infty}\log{n}\cdot n^{-s})}$

となり，これを変形すると

$\exp{(\zeta'(s))} = \prod_{n=1}^{\infty} n^{-n^{-s}}$

になる．

ゼータ関数の微分の特殊値

$\zeta'(0) = -\frac{1}{2}\log{(2\pi)}$

を代入するが，元々のゼータ関数は $s\gt 1$ でないと収束しないので，解析接続したものとして考える必要があり，

$\exp{(\zeta'(0))} = "\prod_{n=1}^{\infty} n^{-n^0}"$

という形になる．

これを整理すると

$\sqrt{2\pi} = "\prod_{n=1}^{\infty} n" = "1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots"$

という式になり

$"1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots" = \sqrt{2\pi}$

が導出できた．

左辺は階乗の形になるので

$"\infty !" = \sqrt{2\pi}$

という式が得られる．