円周率>3.05についてのメモ - 音楽室と化学室と美術室とPC室の融合部屋　所謂自由室

Q.
$\pi > 3.05$ を示せ

A.
$\sin15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ より $\pi > 12\sin{15^\circ} > 3.05$

解説

単位円の内接正12角形の周長は $24\sin{15}^\circ = 6(\sqrt{6} - \sqrt{2}) > 6.10$ になる．

解説の解説

単位円に内接する正12角形に対し，円の中心から頂点に直線を結び，その隣の頂点にも中心から線を結ぶと，頂角が30度の二等辺三角形ができる．
頂点から底辺に垂線を降ろすと斜辺が1で直角でない小さい方の角が15度の直角三角形ができるので，二等辺三角形の底辺は
$2\sin{15^\circ}$
になる．
$\sin{15^\circ}$
は
$\cos{30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
の半角の公式より
$\sin{15^\circ} = \sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$
と導出できる．
正十二角形の周長は一辺
$2\sin{15^\circ}$
を12倍したものなので
$24\sin{15^\circ} = 6(\sqrt{6} - \sqrt{2})$
になる．
あとは単位円の直径で割れば
$\pi > 3(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 3.10... > 3.05$
になるので題意を示せる．

思いついたけど没な案
$\pi = 4 - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \frac{4}{13} - \frac{4}{15} + \frac{4}{17} - \frac{4}{19} + \frac{4}{21} - \frac{4}{23} + ... > 3.05$
これは12項目くらいまで計算すれば示せるけど，微分を使ってこの公式を導出するので循環論法

ちなみにオイラーによるマチンの公式派生
$\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{\pi}{4}$
を用いた
$4\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} \left(\frac{1}{2^{2n+1}} + \frac{1}{3^{2n+1}} \right)$
は常時3.05より大きい値をグラグラしながら収束する．