式変形で色々遊んだりしたメモ - 音楽室と化学室と美術室とPC室の融合部屋　所謂自由室

オイラーのゼータ関数論
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をボケーッと見てなんとなくってノリで色々遊んだメモとして．
絶対ゼータあたりで読むのストップしてます．とりあえずゆっくり読んでいこうかなと思ってます

基本的には
$\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \Pi_{p:prime}\frac{1}{1-p^{-s}}$
の式変形をメインにしたやつをば．
以降すべての素数にわたる積を素数 $p$ を用いて $\Pi_{p}f(p)$ と表記する．

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ゼータ関数の主な値
$\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$
$\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$
をオイラー積に書き換えて
$\zeta(2) = \Pi_{p}\frac{1}{1-p^{-2}} = \frac{\pi^2}{6}$
$\zeta(4) = \Pi_{p}\frac{1}{1-p^{-4}} = \frac{\pi^4}{90}$
$\frac{\zeta(4)}{\zeta^2(2)} = \Pi_{p}\frac{(1-p^{-2})^2}{1-p^{-4}} = \Pi_{p}\frac{(1-p^{-2})^2}{(1-p^{-2})(1+p^{-2})} = \Pi_{p}\frac{p^{2}-1}{p^{2}+1} = \frac{36}{90} = \frac{2}{5}$

$\therefore \frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{12}{13}\cdot\frac{24}{25}\cdot \cdots = \frac{2}{5}$
という若干カオスな式ができる．
これは書籍の定理9と全く同じ．

2

次のネタとしては， $\zeta(s)$ は実部が $Re(s) > 1$ のときに絶対収束するので
$\zeta(s) = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{6^s} + \cdots$
から
$2^{1-s}\zeta(s) = \frac{2}{2^s} + \frac{2}{4^s} + \frac{2}{6^s} + \frac{2}{8^s} + \frac{2}{10^s} + \frac{2}{12^s} + \cdots$
を引いてみる．
$(1-2^{1-s})\zeta(s) = \frac{1}{1^s} - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \frac{1}{4^s} + \frac{1}{5^s} - \frac{1}{6^s} + \cdots$
になるので $\log$ のテイラー展開を比較して
$\lim_{s\to +1}(1-2^{1-s})\zeta(s) = \log{2}$
になる．　まぁここらへんは別にいいや．
ついでに
$\lim_{s\to +1}\zeta(s) = \lim_{s\to +1} \frac{\log{2}}{1-2^{1-s}}$
と変形してみて
$\lim_{s\to +1}(s-1)\zeta(s) = \lim_{s\to +1} \frac{(s-1)\log{2}}{1-2^{1-s}}$
としてみる．
右辺はというと， $2^{1-s} - 1 = h$ と置換してみると
$\lim_{s\to +1} \frac{(s-1)\log{2}}{1-2^{1-s}} = \lim_{s\to +1} \frac{\log{2^{1-s}}}{2^{1-s}-1} = \lim_{h\to 0} \frac{\log{(1+h)}}{h} = 1$
になるので，この計算ルートでも $\lim_{s\to +1}(s-1)\zeta(s) = 1$ が得られる．
正直なんとなく触ってたらあんま面白みのない式になっちゃってしょんぼりだった（ぉぃ

ちなみにこの極限の式自体は $\frac{1}{x}$ の積分と $\zeta(s)$ の比較で得られる．

3

次にゼータ関数から少し離れて
$L(s,\chi) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^s}$
という式について考えてみる．これはディリクレのL関数っていう名前がついている．
ここで $\chi(n)$ は $\chi : \mathbb{Z}\to \mathbb{C}$ となる関数で，

$\chi(n)$ は整数 $n\in \mathbb{Z}$ を正整数 $N\in \mathbb{Z+}$ で割った余りにより定まる
$n$ が $N$ と互いに素でない場合は $\chi(n) = 0$
$\chi(nm) = \chi(n)\chi(m)$

という要素を満たす関数とする．
$\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ の乗法に関する群について $\chi(nm) = \chi(n)\chi(m)$ と準同型写像とし，
$N$ と互いに素でない場合は0にすることで $\mathbb{Z}$ について考えることができる．
ちなみに $\chi:\mathbb{Z}\to\mathbb{C}$ を $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}\to\mathbb{C}$ という流れで考えることができる．
この $\chi(n)$ をディリクレ指標と言うらしい．

例えば $N=1$ の時，任意の $n\in \mathbb{Z}+$ において $\chi(n) = 1$ になる．
この場合
$L(s,\chi) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} = \zeta(s)$
になる．

$N=2$ の時，これは $n$ が偶数なら $\chi(n) = 0$ ，奇数なら $\chi(n) = 1$ になる．
$L(s,\chi) = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \cdots$
になる．
ちなみにこれは
$\zeta(s) = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{6^s} + \cdots$
から
$2^{-s}\zeta(s) = \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s} + \frac{1}{8^s} + \frac{1}{10^s} + \frac{1}{12^s} + \cdots$
を引くと
$(1-2^{-s})\zeta(s) = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \cdots = L(s,\chi)$
になる．

$N=3$ の時，これは $\chi(1) = 1$ ， $\chi(3) = \chi(-1)$ は $\chi(1) = \chi((-1)^2) = \chi^2(-1)$ より $\chi(-1) = \pm 1$ になる．
$\chi(-1) = 1$ のとき
$L(s,\chi) = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \frac{1}{8^s} + \cdots$
になる．これは $N=2$ のときと同様にして
$L(s,\chi) = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \frac{1}{8^s} + \cdots = (1-3^{-s})\zeta(s)$
になる．

$N=4$ の時，これは $\chi(1) = 1$ ， $\chi(2) = \chi(4) = 0$ ， $\chi(3) = \chi(-1) = \pm 1$ になるので
$\chi(-1) = 1$ のとき
$L(s,\chi) = (1-4^{-s})\zeta(s)$

$\chi(-1) = -1$ の時は
$L(s,\chi) =\frac{1}{1^s} - \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} - \frac{1}{7^s} + \frac{1}{9^s} - \frac{1}{11^s} + \cdots$
になる．
ちなみに $s=1$ の時ライプニッツ級数
$L(1,\chi) =\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \cdots$
になるので， $L(1,\chi) = \frac{\pi}{4}$ になる．

次にゼータ関数のオイラー積
$\zeta(s) = \Pi_{p}\left(1-p^{-s}\right)^{-1}$
について，これは $|x| < 1$ の時
$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \cdots$
という展開を考えると自然に考えることができる．
同様に
$L(s,\chi) = \Pi_{p}\left(1-\frac{\chi(p)}{p^s}\right)^{-1}$
という式変形もわかりやすい．
言われたらわかりやすいけど正直 $\chi$ を準同型にすることでこの形にできるじゃんって考えた人ヘンタイだなって思う．

これを $N=4$ の時に考えた時， $\chi(-1) = -1$ とすると
$L(s,\chi) = \Pi_{p\equiv 1\pmod{4}}\left(1-\frac{1}{p^s}\right)^{-1}\Pi_{p\equiv 3\pmod{4}}\left(1+\frac{1}{p^s}\right)^{-1}$
$\therefore L(s,\chi) = \Pi_{p\equiv 1\pmod{4}}\frac{p^s}{p^s-1}\Pi_{p\equiv 3\pmod{4}}\frac{p^s}{p^s+1}$
になる．
これで
$L(1,\chi) = \Pi_{p\equiv 1\pmod{4}}\frac{p}{p-1}\Pi_{p\equiv 3\pmod{4}}\frac{p}{p+1} = \frac{\pi}{4}$
が得られる．
書き下すと
$\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{7}{8}\cdot\frac{11}{12}\cdot\frac{13}{12}\cdot\frac{17}{16}\cdot\cdots = \frac{\pi}{4}$
になる．
結構カオス．

ディリクレL関数は最近ちょっと触り始めたから勉強中って感じです．
親しみ持つために遊んでみた感じです．
何かしら面白いネタがあったらまたブログ更新しようかなと思います．