極限についてのお話(1) - 音楽室と化学室と美術室とPC室の融合部屋　所謂自由室

Twitterのゲーム仲間のツイートで「極限についてわからん」とか「無限大がよくわからない」って文字列をよく見るので，とりあえずまとめてみようと思いました．
大学数学っぽい内容に足を突っ込んでいますが，具体的なイメージが欲しい方のために書き綴ります．

極限について
- 「限りなく近づく」とは？
  - 例
- 無限大ってなぁに？
ε-δ論法
- 極限の公式

極限について

ズバリ言うと，「いくらでも極端なものを言ってみろ！それより更に凄いものを用意してやる」という状態です．
・・・と言ってもわからないですよね．

そこで， $A$ に収束する数列
$\lim_{n\to \infty} a_n = A$
について，『 $n$ を限りなく増やすと $a_n$ は $A$ に近づく』と高校数学では説明されるけど，実際「近づく」ということはどういうことなのだろう？

ということから始めましょう．

「限りなく近づく」とは？

じゃぁ『限り無く近づく』というのはどういうことなのか？
それを考えるために『誤差』というものを考えます．

例えば数列 $\{a_n\}$ と数値 $A$ について誤差 $|A-a_n|$ を考えます．
「限り無く近づく」ということは，この誤差が限りなく0に近づくということですが，その『近づく』とはどういうことなのでしょうか．

それを考えるために『いくらでも小さい値を言ってみろ』と問うわけです．
そうです，限りなく近づくのなら『数列を進めていくと，いつかは誤差はその値より小さくなる』のです．

そこをひっくるめて言うと，『いくらでも小さい誤差を言ってみろ，ある $N$ 以上なら $|a_n-A|$ がその誤差より小さくなるような $N$ を用意してやる』という状態です．
それをひっくるめて言うと
$\forall \varepsilon > 0,\exists N\in \mathbb{N}\ s.t.\ n\geq N \Rightarrow |a_n - A| < \varepsilon$
となりますが，ざっくり説明すると
『どんな $\varepsilon$ を用意されたとしても，とある自然数 $N$ 以上の $n$ について $a_n$ と $A$ の誤差が $\varepsilon$ より小さくなる $N$ を用意できる』
という内容です．

この
$\forall \varepsilon > 0,\exists N\in \mathbb{N}\ s.t.\ n\geq N \Rightarrow |a_n - A| < \varepsilon$
については，『イプシロンーエヌ論法』と言うようです．

例

例えばですが
$a_n = \frac{1}{n}$
について考えてみます．
これは $n\to \infty$ のときに $a_n = 0$ になります．
そこで $\varepsilon = 0.001$ という値を出されたとします．
その場合は「ざんね～ん！ $n > 1000$ の時にずっと誤差はその値未満になりますー！」と言えちゃうわけです．

この例の本題としては
$\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} = 0$
ですが，これを言い換えると
どんな誤差 $\varepsilon$ を出されたとしても， $n>\frac{1}{\varepsilon}$ ならばその誤差よりも小さくなります．

無限大ってなぁに？

極限で出てくる定番の『無限大』ですが，無限大とはどういう数字なのでしょうか？・・・というとツッコまれるので本題に行きましょう．
無限大についてですが，先程のイプシロンーエヌ論法を元に考えます．

無限大についてですが，「どんな数も大きい数」とか「限りなく大きい数」とか説明されますが，そもそも「数ではない」です．

無限大は数ではないです

どちらかというと，『具体的な数ではない概念』です．
ではどのように無限大についての説明をするかというと，今度は「いくらでも大きい数を用意してみろ，もっと大きい数を用意できるぞ」という状態です．

さっきの「いくらでも小さい値を言ってみろ」と逆の「いくらでも大きい値を言ってみろ」という状態です．
例えば
$\lim_{n\to \infty} n^2 = \infty$
についてですが，例えば $10000$ という数字を出されると
「そんな数字でいいのか！ $n > 100$ のときにそれより大きい数になるぞ！」となりますね．
正直 $M$ という数字を出されたとしても，せいぜい $\sqrt{M}$ より大きい整数ならそれより大きくなりますね．

これは
$\forall M > 0,\exists N\in \mathbb{N}\ s.t.\ n\geq N \Rightarrow a_n > M$
と表現ができて，『どんな $M$ を用意されたとしても，とある自然数 $N$ 以上の $n$ について $a_n$ が $M$ より小さくなる $N$ を用意できる』
と言えちゃうわけです．

ε-δ論法

極限で外せない話というと，ε-δ論法ですね．
例えば $\lim_{x \to a}f(x) = b$ という極限について
『 $x$ が $a$ に限りなく近づくと $f(x)$ は $b$ に近づく』
なんて説明がされますが，先程と同じように「限り無く近づくってなんだよ！」ってなるわけですね！
そこで

$|b-f(x)|$ は $a$ 周辺で限りなく小さくなる

と考えます．
すると「限りなく小さくなるってなんだよ！a周辺ってなんだよ！」ってなるわけですね．
そこで

どんな小さい数字 $\varepsilon > 0$ を出されたとしても $|f(x) - b|<\varepsilon$ となる範囲は $a$ の周辺にある

と言い換えます．
そこで「限りなく小さくなるってなんだよ！」の問題は消えました．

次に「a周辺ってなんだよ！」についての問題ですが，同じように，

範囲の広さ $\delta > 0$ があって $|x-a|<\delta$ の範囲ならそれを満たす

と言い換えることができそうですね．

これまでの話をまとめると

どんな小さい数字 $\varepsilon > 0$ を出されたとしても，対応する範囲の広さ $\delta > 0$ があって， $|x-a|<\delta$ の範囲だったら $|f(x) - b|<\varepsilon$ になりますよ

という感じになります．
論理記号を用いて表現すると

$\forall \varepsilon >0 , \exists \delta >0 \ s.t. |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x) -b|<\varepsilon$

になります．

極限の公式

ちなみに高校でも扱う極限の公式
$\lim_{x\to x_0}f(x) = \alpha$
$\lim_{x\to x_0}g(x) = \beta$
のとき
$\lim_{x\to x_0}(f(x) + g(x)) = \alpha + \beta$
というような公式の証明は，ε-δ論法を使って証明することができます．

$\lim_{x\to x_0}f(x) = \alpha$
は
$|f(x) - \alpha| < \varepsilon_1$ の誤差に収まる範囲 $\delta_1$ が存在し，
$\lim_{x\to x_0}g(x) = \beta$
は
$|g(x) - \beta| < \varepsilon_2$ の誤差に収まる範囲 $\delta_2$ が存在する．