ブログ変えました＆プログラミング初心者でも円周率を計算してみたい - 音楽室と化学室と美術室とPC室の融合部屋　所謂自由室

以前までFC2でブログしてたのですが，数式扱えるようなのでブログ変えてみようと思います．

とりあえず記事はいくつか移転させようと思います．

今回はC++で円周率を計算した内容です．

なんとなくPCも新しくなったことですしCPPでプログラミングやってみようかなと思いました
みんな大好き円周率。コレを計算していこうと思います。
今回はニコニコ静画に投稿している【やってみマス．頑張りマス．　円周率(3)】を元に計算していこうかなと思います（謎宣伝）

今回はマチンの公式
$\frac{\pi}{4} = 4\tan^{-1}\frac{1}{5} - \tan^{-1}\frac{1}{239}$
を使って計算しましたが，これを扱うには $\tan^{-1}x$ のテイラー展開を考える必要があります。

$x = \tan{y}$

$y = \tan^{-1}{x}$
なので
$(\tan^{-1}{x})' = \frac{1}{(\tan{y})'} = \frac{1}{1 + (\tan{y})^2} = \frac{1}{1 + x^2}$
となるので $|x| \lt 1$ のとき

$1+x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + \cdots = \frac{1}{1-x}$
より $|x|\lt1$ の時に公比 $-x^2$ の等比級数に展開できます
そこで $\tan^{-1}0 = 0$ なので

$(\tan^{-1}x)' = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 - \cdots$

$\therefore \tan^{-1}x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \frac{x^9}{9} - \cdots$
と計算できます
引数の絶対値は1未満で絶対収束するのでコレを変形して

$\pi = 4\left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{2k-1}\left(\frac{1}{5}\right)^{2k-1} - \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k-1}\left(\frac{1}{239}\right)^{2k-1}\right)$

$\pi = 4\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k-1}\left(4\cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{2k-1} - \left(\frac{1}{239}\right)^{2k-1}\right)$
と計算していく感じです。

ちなみに $\tan{45^\circ} = 1$ より、 $4\tan^{-1}1 = \pi$ はライプニッツ級数と呼ばれ、非常に収束が遅いです。
おすすめはしません。

今回はC++を用いて計算を行い、多倍長浮動小数点数ライブラリはBoostを使いました。
仮数部ビット数は14000Bitぶち込んでみました。
計算した項数は24000項くらいだったかな？正直指数関数的に収束していくんでそんなに計算しなくてもよかったかもしれんね

#define NUMERIC 14000
namespace mp = boost::multiprecision;

typedef mp::number < boost::multiprecision::cpp_dec_float<NUMERIC>> cpp_u_float;

void CalcPie(cpp_int num) {
cpp_u_float result = 0.0f, j;
bool f = true;

for (unsigned long long i = 1; i <= num; i++) {
j = (2 * i - 1);
if (f)result += (4.0f / j) * (4.0f / boost::multiprecision::pow(5.0f, j) - 1.0f / boost::multiprecision::pow(239.0f, j));
else result -= (4.0f / j) * (4.0f / boost::multiprecision::pow(5.0f, j) - 1.0f / boost::multiprecision::pow(239.0f, j));
f = !f;
}
OutputResultFloat("PI_RESULT.txt",result);
std::cout << std::setprecision(std::numeric_limits< decltype(result)>::digits10 + 1) << result.str() << std::endl;
return;
}

3.
141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816

406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231

725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810

975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326

648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715

364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759

591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891

227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860

943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827

785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279

689258923542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211

349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308

253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147

303598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532171226

806613001927876611195909216420198938095257201065485863278865936153381

827968230301952035301852968995773622599413891249721775283479131515574

857242454150695950829533116861727855889075098381754637464939319255060

400927701671139009848824012858361603563707660104710181942955596198946

767837449448255379774726847104047534646208046684259069491293313677028

989152104752162056966024058038150193511253382430035587640247496473263

914199272604269922796782354781636009341721641219924586315030286182974

555706749838505494588586926995690927210797509302955321165344987202755

960236480665499119881834797753566369807426542527862551818417574672890

977772793800081647060016145249192173217214772350141441973568548161361

157352552133475741849468438523323907394143334547762416862518983569485

562099219222184272550254256887671790494601653466804988627232791786085

784383827967976681454100953883786360950680064225125205117392984896084

128488626945604241965285022210661186306744278622039194945047123713786

960956364371917287467764657573962413890865832645995813390478027590099

465764078951269468398352595709825822620522489407726719478268482601476

990902640136394437455305068203496252451749399651431429809190659250937

221696461515709858387410597885959772975498930161753928468138268683868

942774155991855925245953959431049972524680845987273644695848653836736

222626099124608051243884390451244136549762780797715691435997700129616

089441694868555848406353422072225828488648158456028506016842739452267

467678895252138522549954666727823986456596116354886230577456498035593

634568174324112515076069479451096596094025228879710893145669136867228

748940560101503308617928680920874760917824938589009714909675985261365

549781893129784821682998948722658804857564014270477555132379641451523

746234364542858444795265867821051141354735739523113427166102135969536

231442952484937187110145765403590279934403742007310578539062198387447

808478489683321445713868751943506430218453191048481005370614680674919

278191197939952061419663428754440643745123718192179998391015919561814

675142691239748940907186494231961567945208095146550225231603881930142

093762137855956638937787083039069792077346722182562599661501421503068

038447734549202605414665925201497442850732518666002132434088190710486

331734649651453905796268561005508106658796998163574736384052571459102

897064140110971206280439039759515677157700420337869936007230558763176

359421873125147120532928191826186125867321579198414848829164470609575

270695722091756711672291098169091528017350671274858322287183520935396

572512108357915136988209144421006751033467110314126711136990865851639

831501970165151168517143765761835155650884909989859982387345528331635

507647918535893226185489632132933089857064204675259070915481416549859

461637180270981994309924488957571282890592323326097299712084433573265

489382391193259746366730583604142813883032038249037589852437441702913

276561809377344403070746921120191302033038019762110110044929321516084

244485963766983895228684783123552658213144957685726243344189303968642

624341077322697802807318915441101044682325271620105265227211166039666

557309254711055785376346682065310989652691862056476931257058635662018

558100729360659876486117910453348850346113657686753249441668039626579

787718556084552965412665408530614344431858676975145661406800700237877

659134401712749470420562230538994561314071127000407854733269939081454

664645880797270826683063432858785698305235808933065757406795457163775

254202114955761581400250126228594130216471550979259230990796547376125

517656751357517829666454779174501129961489030463994713296210734043751

895735961458901938971311179042978285647503203198691514028708085990480

109412147221317947647772622414254854540332157185306142288137585043063

321751829798662237172159160771669254748738986654949450114654062843366

393790039769265672146385306736096571209180763832716641627488880078692

560290228472104031721186082041900042296617119637792133757511495950156

604963186294726547364252308177036751590673502350728354056704038674351

362222477158915049530984448933309634087807693259939780541934144737744

184263129860809988868741326047215695162396586457302163159819319516735

381297416772947867242292465436680098067692823828068996400482435403701

416314965897940924323789690706977942236250822168895738379862300159377

647165122893578601588161755782973523344604281512627203734314653197777

416031990665541876397929334419521541341899485444734567383162499341913

181480927777103863877343177207545654532207770921201905166096280490926

360197598828161332316663652861932668633606273567630354477628035045077

723554710585954870279081435624014517180624643626794561275318134078330

336254232783944975382437205835311477119926063813346776879695970309833

913077109870408591337464144282277263465947047458784778720192771528073

176790770715721344473060570073349243693113835049316312840425121925651

798069411352801314701304781643788518529092854520116583934196562134914

341595625865865570552690496520985803385072242648293972858478316305777

756068887644624824685792603953527734803048029005876075825104747091643

961362676044925627420420832085661190625454337213153595845068772460290

161876679524061634252257719542916299193064553779914037340432875262888

963995879475729174642635745525407909145135711136941091193932519107602

082520261879853188770584297259167781314969900901921169717372784768472

686084900337702424291651300500516832336435038951702989392233451722013

812806965011784408745196012122859937162313017114448464090389064495444

006198690754851602632750529834918740786680881833851022833450850486082

503930213321971551843063545500766828294930413776552793975175461395398

468339363830474611996653858153842056853386218672523340283087112328278

921250771262946322956398989893582116745627010218356462201349671518819

097303811980049734072396103685406643193950979019069963955245300545058

068550195673022921913933918568034490398205955100226353536192041994745

538593810234395544959778377902374216172711172364343543947822181852862

408514006660443325888569867054315470696574745855033232334210730154594

051655379068662733379958511562578432298827372319898757141595781119635

833005940873068121602876496286744604774649159950549737425626901049037

781986835938146574126804925648798556145372347867330390468838343634655

379498641927056387293174872332083760112302991136793862708943879936201

629515413371424892830722012690147546684765357616477379467520049075715

552781965362132392640616013635815590742202020318727760527721900556148

425551879253034351398442532234157623361064250639049750086562710953591

946589751413103482276930624743536325691607815478181152843667957061108

615331504452127473924544945423682886061340841486377670096120715124914

043027253860764823634143346235189757664521641376796903149501910857598

442391986291642193994907236234646844117394032659184044378051333894525

742399508296591228508555821572503107125701266830240292952522011872676

756220415420516184163484756516999811614101002996078386909291603028840

026910414079288621507842451670908700069928212066041837180653556725253

256753286129104248776182582976515795984703562226293486003415872298053

498965022629174878820273420922224533985626476691490556284250391275771

028402799806636582548892648802545661017296702664076559042909945681506

526530537182941270336931378517860904070866711496558343434769338578171

138645587367812301458768712660348913909562009939361031029161615288138

437909904231747336394804575931493140529763475748119356709110137751721

008031559024853090669203767192203322909433467685142214477379393751703

443661991040337511173547191855046449026365512816228824462575916333039

107225383742182140883508657391771509682887478265699599574490661758344

137522397096834080053559849175417381883999446974867626551658276584835

884531427756879002909517028352971634456212964043523117600665101241200

659755851276178583829204197484423608007193045761893234922927965019875

187212726750798125547095890455635792122103334669749923563025494780249

011419521238281530911407907386025152274299581807247162591668545133312

394804947079119153267343028244186041426363954800044800267049624820179

289647669758318327131425170296923488962766844032326092752496035799646

925650493681836090032380929345958897069536534940603402166544375589004

563288225054525564056448246515187547119621844396582533754388569094113

031509526179378002974120766514793942590298969594699556576121865619673

378623625612521632086286922210327488921865436480229678070576561514463

204692790682120738837781423356282360896320806822246801224826117718589

638140918390367367222088832151375560037279839400415297002878307667094

447456013455641725437090697939612257142989467154357846878861444581231

459357198492252847160504922124247014121478057345510500801908699603302

763478708108175450119307141223390866393833952942578690507643100638351

983438934159613185434754649556978103829309716465143840700707360411237

359984345225161050702705623526601276484830840761183013052793205427462

865403603674532865105706587488225698157936789766974220575059683440869

735020141020672358502007245225632651341055924019027421624843914035998

953539459094407046912091409387001264560016237428802109276457931065792

295524988727584610126483699989225695968815920560010165525637567856672

279661988578279484885583439751874454551296563443480396642055798293680

435220277098429423253302257634180703947699415979159453006975214829336

655566156787364005366656416547321704390352132954352916941459904160875

320186837937023488868947915107163785290234529244077365949563051007421

087142613497459561513849871375704710178795731042296906667021449863746

459528082436944578977233004876476524133907592043401963403911473202338

071509522201068256342747164602433544005152126693249341967397704159568

375355516673027390074972973635496453328886984406119649616277344951827

369558822075735517665158985519098666539354948106887320685990754079234

240230092590070173196036225475647894064754834664776041146323390565134

330684495397907090302346046147096169688688501408347040546074295869913

829668246818571031887906528703665083243197440477185567893482308943106

828702722809736248093996270607472645539925399442808113736943388729406

307926159599546262462970706259484556903471197299640908941805953439325

123623550813494900436427852713831591256898929519642728757394691427253

436694153236100453730488198551706594121735246258954873016760029886592

578662856124966552353382942878542534048308330701653722856355915253478

445981831341129001999205981352205117336585640782648494276441137639386

692480311836445369858917544264739988228462184490087776977631279572267

265556259628254276531830013407092233436577916012809317940171859859993

384923549564005709955856113498025249906698423301735035804408116855265

311709957089942732870925848789443646005041089226691783525870785951298

344172953519537885534573742608590290817651557803905946408735061232261

120093731080485485263572282576820341605048466277504500312620080079980

492548534694146977516493270950493463938243222718851597405470214828971

117779237612257887347718819682546298126868581705074027255026332904497

627789442362167411918626943965067151577958675648239939176042601763387

045499017614364120469218237076488783419689686118155815873606293860381

017121585527266830082383404656475880405138080163363887421637140643549

556186896411228214075330265510042410489678352858829024367090488711819

090949453314421828766181031007354770549815968077200947469613436092861

484941785017180779306810854690009445899527942439813921350558642219648

349151263901280383200109773868066287792397180146134324457264009737425

700735921003154150893679300816998053652027600727749674584002836240534

603726341655425902760183484030681138185510597970566400750942608788573

579603732451414678670368809880609716425849759513806930944940151542222

194329130217391253835591503100333032511174915696917450271494331515588

540392216409722910112903552181576282328318234254832611191280092825256

190205263016391147724733148573910777587442538761174657867116941477642

144111126358355387136101102326798775641024682403226483464176636980663

785768134920453022408197278564719839630878154322116691224641591177673

225326433568614618654522268126887268445968442416107854016768142080885

028005414361314623082102594173756238994207571362751674573189189456283

525704413354375857534269869947254703165661399199968262824727064133622

217892390317608542894373393561889165125042440400895271983787386480584

726895462438823437517885201439560057104811949884239060613695734231559

079670346149143447886360410318235073650277859089757827273130504889398

900992391350337325085598265586708924261242947367019390772713070686917

092646254842324074855036608013604668951184009366860954632500214585293

095000090715105823626729326453738210493872499669933942468551648326113

414611068026744663733437534076429402668297386522093570162638464852851

490362932019919968828517183953669134522244470804592396602817156551565

666111359823112250628905854914509715755390024393153519090210711945730

024388017661503527086260253788179751947806101371500448991721002220133

501310601639154158957803711779277522597874289191791552241718958536168

059474123419339842021874564925644346239253195313510331147639491199507

285843065836193536932969928983791494193940608572486396883690326556436

421664425760791471086998431573374964883529276932822076294728238153740

996154569