プログラミング初心者でもゼータ関数の引数が偶数の値を導出したい - 音楽室と化学室と美術室とPC室の融合部屋　所謂自由室

前回ベルヌーイ数を計算した記事

aryuaryuaryuryu.hatenablog.com

で

$\zeta(2n) = (-1)^{n+1} \frac{B_{2n}\cdot (2π)^{2n}}{2\cdot(2n)!}$

という式を例としてだした．

一般調和級数

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha}}$

について $\alpha \gt 1$ のときに絶対収束することは知られていたが，どのような値に収束するかはわからなかった．特に $\alpha = 2$ のとき，いわゆる $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$ についてはバーゼル問題という難しい問題として注目されていた．

バーゼル問題については数学ガールにも書いてあったので書籍としておすすめ．

バーゼル問題は $\sin{x}$ の無限乗積展開

$\sin{z\pi} = z\pi \prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)$

及びテイラー展開

$\sin{z\pi} = z\pi - \frac{(\pi z)^3}{3!} + \frac{(\pi z)^5}{5!} - \cdots$

から $z^3$ の係数比較より

$\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$

が得られるという方法をオイラーが見つけた．

当時はこの無限乗積展開は $\sin{z\pi}$ の零点を用いてシンプルに導出したものだが収束・発散の判定はガバガバだった．しかし現在では複素解析のワイエルシュトラスの因数分解定理より無限乗積展開が表せられることが示されており，絶対収束させるパラメタをかけることにより

$\sin{z\pi} = z\pi \prod_{n\neq 0} \left(1-\frac{z}{n}\right)e^{\frac{z}{n}}$

と表せられることがわかっている．絶対収束させたこれの順序を入れ替えることにより

$\sin{z\pi} = z\pi \prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)$

が得られる．

ここで

$\zeta(2n) = (-1)^{n+1} \frac{B_{2n}\cdot (2π)^{2n}}{2\cdot(2n)!}$

についてはこの $\sin{z\pi}$ について対数をとり微分を行うと

$\pi \frac{\cos{(\pi z)}}{\sin{(\pi z)}} = \frac{1}{z} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{-2z\frac{1}{n^2}}{1-\frac{z^2}{n^2}}$

が得られるので

$\pi \frac{\cos{(\pi z)}}{\sin{(\pi z)}} = \frac{1}{z} - \frac{2}{z}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\frac{z^2}{n^2}}{1-\frac{z^2}{n^2}}$

と変形すると $|z|\lt 1$ と仮定して等比級数の収束和を利用し

$\pi \frac{\cos{(\pi z)}}{\sin{(\pi z)}} = \frac{1}{z} - \frac{2}{z}\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{z^2}{n^2}\right)^k$

と式変形することができる．

総和の順序入れ替えを行い

$\pi \frac{\cos{(\pi z)}}{\sin{(\pi z)}} = \frac{1}{z} - \frac{2}{z}\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{2k}}{n^{2k}}$

ゼータ関数 $\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$ で関数を置換する

$\pi \frac{\cos{(\pi z)}}{\sin{(\pi z)}} = \frac{1}{z} - \frac{2}{z}\sum_{k=1}^{\infty} \zeta{(2k)}z^{2k}$

ここで

$\sum_{k=1}^{\infty}\zeta{(2k)}z^{2k} = \frac{1}{2} - \frac{\pi z}{2} \frac{\cos{(\pi z)}}{\sin{(\pi z)}}$

と式を整理してオイラーの公式から $\cos{\pi z} = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$ ， $\sin{\pi z} = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$ と置換してやると

$\sum_{k=1}^{\infty}\zeta{(2k)}z^{2k} = \frac{1}{2} - \frac{\pi iz}{2} \frac{e^{\pi iz} + e^{-\pi iz}}{e^{\pi iz} - e^{-\pi iz}}$

となり

$\sum_{k=1}^{\infty}\zeta{(2k)}z^{2k} = \frac{1}{2} - \frac{\pi iz}{2} \frac{e^{2\pi iz} + 1}{e^{2\pi iz} - 1}$

$\sum_{k=1}^{\infty}\zeta{(2k)}z^{2k} = \frac{1}{2} - \frac{\pi iz}{2} \frac{(e^{2\pi iz} - 1) + 2}{e^{2\pi iz} - 1}$

$\sum_{k=1}^{\infty}\zeta{(2k)}z^{2k} = \frac{1}{2} - \frac{\pi iz}{2} - \frac{1}{2}\frac{2\pi i z}{e^{2\pi i z} - 1}$

と整理できる．

ここでベルヌーイ数を用いたテイラー展開

$\frac{z}{e^z - 1} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n}{n!}z^n$

より

$\sum_{k=1}^{\infty}\zeta{(2k)}z^{2k} = \frac{1}{2} - \frac{\pi iz}{2} - \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n}{n!}(2\pi i z)^n$

また $B_0 = 1$ ， $B_1 = -\frac{1}{2}$ だったので

$\sum_{k=1}^{\infty}\zeta{(2k)}z^{2k} = -\frac{1}{2}\sum_{n=2}^{\infty}\frac{B_n}{n!}(2\pi i z)^n$

が得られる．

係数比較を行うと

$\zeta{(2k)} = -\frac{1}{2}\frac{B_{2k}}{(2k)!}(2\pi i)^{2k}$

となり式を整理すると

$\zeta{(2k)} = (-1)^{k+1}\frac{B_{2k}\cdot (2\pi)^{2k}}{2\cdot (2k)!}$

が得られる．

ベルヌーイ数は有理数なので，ゼータ関数の引数が正の偶数の場合は，何らかの有理数 $t$ を用いて $\zeta{(2n)} = t\pi ^{2n}$ となることがわかる．

一方引数が1超過の奇数の場合はどのような値をとるかはわかっていない．少なくとも $\zeta(3)$ については無理数であると証明が成されており，アペリーの定理と言われているらしいが，勉強不足なので余計なことは語らないことにする．

プログラムソースは先日のベルヌーイ数を求める関数を少し改変して新たに関数を作成したものなので各自頑張って．

以下実行結果

ζ(2) = π^2 / 6
ζ(4) = π^4 / 90
ζ(6) = π^6 / 945
ζ(8) = π^8 / 9450
ζ(10) = π^10 / 93555
ζ(12) = 691π^12 / 638512875
ζ(14) = 2π^14 / 18243225
ζ(16) = 3617π^16 / 325641566250
ζ(18) = 43867π^18 / 38979295480125
ζ(20) = 174611π^20 / 1531329465290625
ζ(22) = 155366π^22 / 13447856940643125
ζ(24) = 236364091π^24 / 201919571963756521875
ζ(26) = 1315862π^26 / 11094481976030578125
ζ(28) = 6785560294π^28 / 564653660170076273671875
ζ(30) = 6892673020804π^30 / 5660878804669082674070015625
ζ(32) = 7709321041217π^32 / 62490220571022341207266406250
ζ(34) = 151628697551π^34 / 12130454581433748587292890625
ζ(36) = 26315271553053477373π^36 / 20777977561866588586487628662044921875
ζ(38) = 308420411983322π^38 / 2403467618492375776343276883984375
ζ(40) = 261082718496449122051π^40 / 20080431172289638826798401128390556640625
ζ(42) = 3040195287836141605382π^42 / 2307789189818960127712594427864667427734375
ζ(44) = 5060594468963822588186π^44 / 37913679547025773526706908457776679169921875
ζ(46) = 103730628103289071874428π^46 / 7670102214448301053033358480610212529462890625
ζ(48) = 5609403368997817686249127547π^48 / 4093648603384274996519698921478879580162286669921875
ζ(50) = 39604576419286371856998202π^50 / 285258771457546764463363635252374414183254365234375
ζ(52) = 123256264328536916515065383362π^52 / 8761982491474419367550817114626909562924278968505859375
ζ(54) = 116599854539539449685672495250764π^54 / 81807125729900063867074959072425603825198823017351806640625
ζ(56) = 708397979803779072481547354189494π^56 / 4905352087939496310826487207538302184255342959123162841796875
ζ(58) = 11652912186052419567178865654349796π^58 / 796392368980577121745974726570063253238310542073919837646484375
ζ(60) = 4860932561935022288161219976319280984165964π^60 / 3278777586273629598615520165380455583231003564645636125000418914794921875
ζ(62) = 3174344628151447365665300608362164168π^62 / 21132271510899613925529439369536628424678570233931462891949462890625
ζ(64) = 106783830147866529886385444979142647942017π^64 / 7016125464333780819415029165079856003277532103367584994756141174316406250
ζ(66) = 133872729284212332186510857141084758385627191π^66 / 86812790293146213360651966604262937105495141563588806888204273501373291015625
ζ(68) = 125235502160125163977598011460214000388469π^68 / 801528196428242695121010267455843804062822357897831858125102407684326171875
ζ(70) = 86021791276192400217318660993020411914939323442π^70 / 5433748964547053581149916185708338218048392402830337634114958370880742156982421875
ζ(72) = 5827954961669944110438277244641067365282488301844260429π^72 / 3633348205269879230856840004304821536968049780112803650817771432558560793458452606201171875
ζ(74) = 1846076610228171244017841823322845145226395015302π^74 / 11359005221796317918049302062760294302183889391189419445133951612582060536346435546875
ζ(76) = 2595272507993197127124968004272126305722659771459558π^76 / 157606197452423911112934066120799083442801465302753194801233578624576089941806793212890625
ζ(78) = 127645035561661793321593549399859099536061346268430917996π^78 / 76505736228426953173738238352183101801688392812244485181277127930109049138257655704498291015625
ζ(80) = 4603784299479457646935574969019046849794257872751288919656867π^80 / 27233582984369795892070228410001578355986013571390071723225259349721067988068852863296604156494140625
ζ(82) = 81805568252933943259666073648110726839401757442451386091786π^82 / 4776089171877348057451105924101750653118402745283825543113171217116857704024700607798175811767578125
ζ(84) = 4049152391870580720462262320223462019979834782396181754562167864954π^84 / 2333207846470426678843707227616712214909162634745895349325948586531533393530725143500144033328342437744140625
ζ(86) = 61461825062109642192916078830349906630495877828222226210418324π^86 / 349538086043843717584559187055386621548470304913596772372737435524697231069047713981709496784210205078125
ζ(88) = 238441179758912274181002077094420335153772777376732480781258161922554π^88 / 13383510964174348021497060628653950829663288548327870152944013988358928114528962242087062453152690410614013671875
ζ(90) = 943245823216866239907298680999372067020203959735717692985236172582338028π^90 / 522532651330971490226753590247329744050384290675644135735656667608610471400391047234539824350830981313610076904296875
ζ(92) = 225319295340441309215552665832795956462494171081640894438837622057381956π^92 / 1231931818039911948327467370123161265684460571086659079080437659781065743269173212919832661978537311246395111083984375
ζ(94) = 207798094736977782060817307134161907056767389821735595138079166856961608π^94 / 11213200675690943223287032785929540201272600687465377745332153847964679254692602138023498144562090675557613372802734375
ζ(96) = 211600449597266513097597728109824233673043954389060234150638733420050668349987259π^96 / 112694926530960148011367752417874063473378698369880587800838274234349237591647453413782021538312594164677406144702434539794921875
ζ(98) = 2771765741751244719349025205975657371728252886877734184043835153060936614622π^98 / 14569479835935377894165191004250040526616509162234077285176247476968227225810918346966001491701692846112140419483184814453125
ζ(100) = 189196075638244250590454866138987443745405683066133872266771392408622790830394495422π^100 / 9815205420757514710108178059369553458327392260750404049930407987933582359080767225644716670683512153512547802166033089160919189453125
ζ(102) = 12777744410212989344937271314521402893287406568904157330723838488880803712210082388π^102 / 6542462041632821053301691569311662289788027568567988893682426033251259982339506782455939031953293309105590414818221747875213623046875
ζ(104) = 1328622167832973019904795645722138356221162603236061282025378254315382820646776387626π^104 / 6714106943458670547730977261255572503143663272538720494194287364895824891914784576227321679529056351713206194234012546241283416748046875
ζ(106) = 2745200239442823728917118502007051107111796123817486040674023877606179613085751120496068π^106 / 136917995910164817710971213977468897177456476803825601531483870641338902150108350442990997405410581289171608437197743359724581241607666015625
ζ(108) = 13877368991391315158208354637295410165599067143041964587480023565486005065278899590369226389352228π^108 / 6831143162071561726812930432034344887259361079210475492086710542245994868827466439695977806449651556346231460704035914662520371533350646495819091796875
ζ(110) = 12233588704775588627597014794758956000846003861459692650693750193215676170031337247964688348024π^110 / 59434672189971257517141248315231681557040632402553431274060354959344109921206881345798715818702828634928992403480630736422535113179981708526611328125
ζ(112) = 757394172044314203815027775624332004126614714055002827557653836480276216147107290104794629586457174π^112 / 36316810571783900705285456528226268183062312405833720396835547717563360985736864720467803676817871810966578596483277945077598217078650169074535369873046875
ζ(114) = 4576385751446139649118054965611156100151822458755964497011812655775495891417809189664039709171084π^114 / 2165748946877173794595116474502742970754628772274870952671328809120411385356316070551223992086096209416668175936325297333227966697996582090854644775390625
ζ(116) = 42697091940943858884484614901219505775035052146804116447655730444277097589596133554674234427000655484π^116 / 199426803919050614093021028793229364339166405841296420616874538162684166959435347310793600671270780597821269929165268361223630947765878128744661808013916015625
ζ(118) = 49757711182333981225077579876011526330116116756704976854380941108666370853668672798558884929426046888π^118 / 2293746256601148249551255426086194010856920728879724593739170535545719927096149604832280295178378842604771419897144934066548406121252964375697076320648193359375
ζ(120) = 206029946140316436247375987431399933096380681413050700852371476668797189899691941435245317468310730711213128280524π^120 / 93737868154323152059952938572720830735479601978296560642163485166962912517498605803188422367511430166193432356221011952520775738629623897861654913932134024798870086669921875
ζ(122) = 6509333256296732054102640980457804254258726598171821609220893349921401077259072961184670646307939405713368π^122 / 29229472328687941276080346288990370192660989393998151666346530139070696788777850471582303513692027104879501752462606066477443992269830469130411048717796802520751953125
ζ(124) = 369289457233498810787770450101270850729239595621751899160533510753427417831240999185871713472386991580528104π^124 / 16366323200160121148838122254201100563845925628594636712880448927869211791507478514050897258450095475217231466322905471401512110000040149991453290935046970844268798828125
ζ(126) = 863119267098916481649137772259254583382612397223572387851927348245995228955418870879571482708276448728867031270321808π^126 / 377532871044304718596150444474418776437482891281623700996236578760557938053745772374704335449201938486830466377489800237463648061020080518519321754188361609526909887790679931640625
ζ(128) = 267754707742548082886954405585282394779291459592551740629978686063357792734863530145362663093519862048495908453718017π^128 / 1155901481375376048718061598661841716282623784987101067397115316331066531792461702094959418380053495874174062995252037446754411181755833166510460555313553380453959107398986816406250
ζ(130) = 29664848848248167933004608034947637466270938617918899365903584931208440344669293516848837102982982811374380540654806431π^130 / 1263937473361101637177363250080300557635650898632160178337543347279209567813934784357234772489704495850319661153672976405527827883325941596996841189215771319642388261854648590087890625
ζ(132) = 37359267804272125291729135138506539829387097988225227493951795269331824614064078528422399345623971517646073249757760937540621π^132 / 15710194130111647962813032297632760164578167012448572056294612736727551452864817411506309513316241579876956544832699752315043955555364828471477494171344900656968404967221431434154510498046875
ζ(134) = 7898214085693066436824947380563552691082224644572199654087121040019933301244493753074248250485147293989990884756701020602π^134 / 32780218371620170960194915890832594962280606056025074225184186711686300141254398632304883824520486099878040412020508643077364216154058295318113076242311029174925339571200311183929443359375
ζ(136) = 4958248608433376772428681062374481979372741905738084456893482759542967190742836046268131497401044102217148099163597931590391161π^136 / 203100496492343545739449664749317862682172236017071555511251813632933770572687534406000406822059640789776859735806967963494810144552718237589347950609016732337731792048732168041169643402099609375
ζ(138) = 234336221651380950960334929019488090508615521275154998596708773309606826222569238558576815277680500677887777245731056954225242446646π^138 / 94737485811931899440149880710240762818847868958026332911867578230326481473007651086392206964672016216164312840297522209773527859749511648776624405518869630702675488338241821922245435416698455810546875
ζ(140) = 25401474798732809296762158678392926694058204455066648504304765136389998478560757503427487244210615765283254577811977948987449394609622π^140 / 101354050504296904172469721738157376679811804470339652355172188295385860129568423267643623588034378114346970744593911427279007942569074703569910091377902325049397507010546491350713768042623996734619140625
ζ(142) = 829963565120483919203948193941026154355167156281162967672950929431411045722909470792674151504887226490675126453769158118764697754884π^142 / 32684432605116505306851708845033063172502514790519084854594314489462636108187639624805311402811845594576687929902645162371867111613581518827935419904010022592423043476693428563174675218760967254638671875
ζ(144) = 3050244698373607565035155836901726357405007104256566761884191852434851033744761276392695669329626855965183503295793517411526056244431024612640493π^144 / 1185540374781017741714813535050576959279304254032619259024050471904808987040481956092743559187855489942028639186566897889492635478298164709713753411218796087980383128781122124285357200906934213708154857158660888671875
ζ(146) = 112892329487126434836331871668708603456590290652288798739008703562596993498178747530296164619778225706581921739216521177727048539287392462π^146 / 433057782732870981286507346874225000959495532631923050429948377890025958450389982169396066307937012159866931880753531015297844653397564574661336955362464955992036864346623236163495783132384531199932098388671875
ζ(148) = 91445251114271296208949248384441415654469343359313589233323279779295020063710726123503864519262769512072788360396550367239889207828570697207954π^148 / 3462121584547296682638205202783944821545778187701508859352013152137712077297695499501542944725101697728211374279212775287245072376828902760764651116655985524849157955521192390716502570351245711208321154117584228515625
ζ(150) = 74138492702266038630925508129889002397157396068047327976367969172060690480251568921604895163150127409340031026206032593230881635856258224676476650604π^150 / 27702863130042322231681482264603575176085603488620626221989406732278743721709878295135195482966968869854205773065900854913834297780773158781274373910657762692565242001515062882465585620283161299119619070552289485931396484375
ζ(152) = 3002826951510734031422975402564308690909995605856916795314188129515797293152649324593534463489377372609365507930025961874507774896288377913857618π^152 / 11074164098968938873606671260278950220215417596195608777022727565454235138852418753272015514606379686187509703109520100494182186661837641063583266672952475836258919177956241538320477019400234611748601309955120086669921875
ζ(154) = 532972399066910184468976324071645946027311098829120479687936441026019809740616301737594028795980660168595111077870478728139746713184488815472748482292π^154 / 19399257768514450217139249954897985335654163540559946479141534599150493129212863140878030008238945387592396860001667334105507697778804714801788708777131217756468418993122105355933509846645920063054428683244623243808746337890625
ζ(156) = 326872344333050514043025839014693809254382841584465870328608362384370194796553387771982037953138603215907345348658681978935466239319075393454026497339275845679476π^156 / 117424391438608397768277989756587998563067981751038910925553459594098496916468642602165868063927053640455361858824950778469642658572123744690636925911054753040912906064798862155702356276636945348455989991066517080980702303349971771240234375
ζ(158) = 17384574876066147855410945165175027355697612382180209027898747874967913741504663493590467632442938054656026428786797324544888345166825010151967875803343688π^158 / 61637350269729905893058834517403684645602680064689455287062498310625770984742750377104364405749377923008874595529832410873867915905129558361247359519945174646229908935716181774410252706119120852064863242882347549311816692352294921875
ζ(160) = 71878996511920514848568872751884016101515221815023274825603826753532914245387118336456420854576767554018079691604160223046905134936089931233318374956291487053913π^160 / 2515252772843575858696369940762973137408387640394529698452835839191524983773230814390405225682982083054678504483919438308418933497688040837799720555857860285615606027562338078267191187110194058446485589294580889718417893163859844207763671875
ζ(162) = 3168902990288832856781868486558852281673192952161572633920444761568478761949599760728727295956337269180836431708839587433098777731810697068751259857464017572467015458π^162 / 1094430835537272203324322179975841157947974468399395213976838885774664483660824567377883514511750855101956328680207544400068620667529950763473688372087626941128554732880366989470156273264604289096237886754944160923866709708818234503269195556640625
ζ(164) = 1001856810202108110515706321302080333551479562104811954543091335801480241381297589814825677489801990967471869404575820735850980235537798079321561636452748066156101126π^164 / 3414953359007277927666118080375744966529394017937962509777354418018689930219866131291892169341177480205352454152527300195702838924999470427380305822679437447882332437183100004737705664697825413345403932355652832957929958865861408412456512451171875
ζ(166) = 276338938282933056464149171633380517180974571496636554148100670424241049862752913961600277238997310510614279933072969719461891600215329284256086174686947887798352569708π^166 / 9296531643627150060651651161192529529304615755989163458394012145852301306302517737729329247648293889516621594797803566343605447686054883645024186517352308081764589114626007580367341357158293373142257396622796545297316049827713868580758571624755859375
ζ(168) = 274155020102502892697789041288386479772893250633353371272484236323124212967065173445297357234158091318213042564870957374427505856122308698418674425921314697948664882738239554π^168 / 91027961122154432735394307475291963650039430424463977820887775359758347557891676914865061319142417418627781018145199469523143005923950218054777819614246121153011865654851690624256038515328546452098190690386779240779022707540594319652882404625415802001953125
ζ(170) = 9192198005959413195998907258280575740301662934164161280712470386228093135279384389067678660534242379884015546814973034350679128349533876366259705877397607431425056942865604π^170 / 30122965803351505831075724203588998304445400243339059036936238733440023227829751166946868613412164847685669406462850634398505084993919418017302235048426090681932646939008430924186733057094517044510348680060860409544539465345602102388511411845684051513671875
ζ(172) = 1064530438263565436947644645859706661675167116840225277372582153364212821606040095328499159314725739699822183334104353890995442606523720647027857448671410194196249247026766466044π^172 / 34429933761657520793209371670343515287015774276767930725737819903802398912570654520728219639181193717532835651985542444081787706362220473714771555296452303843048703192599247737531077519264683321299418102359289475964667925128232042987065142369829118251800537109375
ζ(174) = 1149285946113666988106195749862266840660859122257258320565015361124802152639335522987915757046574374477910881560039547009602000511133594340186585775364857279967747611930068785414712π^174 / 366864716203965547059963138896178292789267881228673009055026766202976081373005352180167471543331291537799377006166748958669080726372004035620376830305817878369221151998422024342488643398772906661773819647879173082193922609411363710844373918007477186620235443115234375
ζ(176) = 6728982361114032961403544778932797701328554174332158959984956832268344199452651879889121040326997289750171734498596295185519795046632414693350372479678709177668354391697592511438028914π^176 / 21199566680959237007103187176076222166310023875825765530294916209105793347187195617556790393086073225635165774890649577036706073391752272367788095866728844144053211130519901095266468549437875228399504543510643207657508192490968582652114502474205437465570867061614990234375
ζ(178) = 50528171533390619776471229267698875630324515402825495518743537151408082099253741368973221155881491332288463573666760750240764873196176872482519727948450925587818789647504684604326161876π^178 / 1571125661997197752700321639558300752241998896452884311753831253271710291685998396112980709444682005857491166982184564921672238391742585182846935304046938000457067275019642200898533302003499880747046015678516149662476638118999870943969344631910871612490154802799224853515625
ζ(180) = 24692545816064995698562089089053883840798237313162621350120808223413591166989365249388120567626003975010802448934783818131264072830886927272901160306680853924411338589018743647669063275823729532373252π^180 / 7577796761483459850338408640182399221649052977752132545394430506922808899840181194496421772066647633783215451907307780768100559632702507249576541628703856714618561344757588022794786469860320275956335630743781131439117467946889812055187747876355509535761183684599018306471407413482666015625
ζ(182) = 376023672909819124495587200055264118534282913039859542124104001637138607471612792150586005313075931528751381411749913000820130881162170381665365241892864675863878026017233438059719266022568π^182 / 1138916848010078636921226658124010006803986210033178102011911044652929148994638667334280281179997209456124634401220502034544813971366158711971657636580145591221330352998113729642351283288847081052937391995434749471077627355653601446638097770395350386252175667323172092437744140625
ζ(184) = 149099362351835857414120771712684037640244053170557453741820112919248944750872001858439839882518201675589979966793341099040177396646258958111407855749035860306490195744286212785483839351828216356π^184 / 4457099833429282292052559071368697581177093853585391009209023337252228842778813665872675837785265979332118231120628379789599574960312750642159043436162753664693071376592233165837507841343155053582023101391494097491336096163119364849353096910042535945830508126164204441010951995849609375
ζ(186) = 5744166735080507884036026379823583272670082043487829205147527871122480574385158089035555055067698464638645474131777074451635299978746039682788994381459994410205688121981904745881849639621703431608π^186 / 1694741087727972422154708152434680733472677537392011121820733107660310247857450617506608295682138049290303934220356378196168808598207429079277112026546054696632550607895314870354938353886032424735411379680157255665269518607044812111123174359135535316764617249418733990751206874847412109375
ζ(188) = 2409919617127448305244150956664067631168140192802974987476854813568000214595390772676376436113196783262232889473077312421039196871437773287032551597422635577714310228415419042648330822277126704395064π^188 / 7017438632542182950879173685474174437100794060186777480853421303647727504878315164061291635763824479811351361911004231716564702459863190266121013155633913625984925624263671645319698312483807118707985548575622579351119570975027697005843601257077641593774632996343143531703390181064605712890625
ζ(190) = 13603282557848885583363734287376056001226300044967808161254715698435795191230817555339334655189024353700045842759345600433677179844099905310272497284183386613639414246554043105970536434425641651868605168π^190 / 390948481762401539199217998151608833712042116389787588971481784973361510321425040712092265715312241930146435655654631911345227383131274253434134831847770779128209618409021325876157083912467094904924948819170846380184972561159493550115257312357821105292619810055493786649094545282423496246337890625
ζ(192) = 346465752997582699690191405750952366871923192340955593486485715370392154894102000406980162521728492501917598012711402163530166516991115122131398542029056286959857727373568402417020319761912636411646719477318166587π^192 / 98273374657561420924647240652873075763343369048204996701427411062426340744235512268225968965884164836941425774412349690936556538205334956226545043240589446909046667396436862011610443482148354883439601360029082778252442953735216130447586408082890295858626315999210563664329605870761952246539294719696044921875
ζ(194) = 46787357219825421914096187360172370461635493387579140973876015513603410602545911275529891958383748817747128944975750524876190803336848988130146574699280196597325991841889412044835595870543628171913594515902π^194 / 130979647548712734224068187383459940108015339364123440382019620365891203785491722946608959097267294646694201313366542081363405778001099509161789753684336756754405490369037327999800669712777447381949235114227181013138089623061883832955819255203473694824870638880987563110949167821672745048999786376953125
ζ(196) = 2561352453488211986634820681628314840945022618502526339003699555388482638377199121652433696105248005800646358733096552429886308611547981624436071947152298637212925255075396794204313110900708487486388774875051911474π^196 / 70769217153611142572585254518890405273442941265427959599401865470543069496447581712820373197743222736989037661666103418191665651609295622469191407399179097923283648424686192353655100455484901443162660828131867635986076461515456691585764010425741881542899009660103775237098534244495340317371301352977752685546875
ζ(198) = 32191969040490183624872938549283841898379827781941653974341761421353162308937997843375376604601260359970995364786383878736867573254495586575939671572019290208001085885183525087758799852170511313148471433719648770620480812π^198 / 8778540857920318736402559476425965071833005408263612595108941105064612497057608692334837779326031580166931387764433341469087353388798038006297280833577262682453576998585644779694012098860574925544583972548683338467277252828971856793523689304462930960913806998683744200294828798371095184194246030529029667377471923828125
ζ(200) = 996768098856666829529857264280799324216991774914413349936111645234527339243047375137731604604421998265202825395226558782117309054290681031680198580956052700765605768743424718675968548245722319600560038220395777111787342302π^200 / 2682678748792657844957504192313280657551803049278355275671666881580642758576467817615493645217977237214155689404787155170845497733836863647685885197919191727452679238952541411298115541287013688972773507748859386210346035176197388875022427877722880764252312145081723341902733317236524547144682628641021437942981719970703125